Sistemi di numerazione e conversioni tra basi: esercizi svolti

I calcolatori rappresentano ogni dato in binario, ma programmatori e progettisti lavorano anche in esadecimale e ottale. Saper convertire tra basi è il primo strumento dell’informatica di base. Questa scheda allena le conversioni tra decimale, binario, ottale ed esadecimale, parte intera e frazionaria.

Valore posizionale: in base $b$ , ogni cifra vale per la sua posizione:

N=\sum_i d_i\,b^i.

1. Da binario a decimale

Esercizio. Convertire $1011_2$ in decimale.

Si sommano le potenze di 2 nelle posizioni con cifra 1:

$1011_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=8+0+2+1=11_{10}.$

Ogni posizione vale il doppio della precedente: la conversione è una somma pesata di potenze di 2.

2. Da decimale a binario

Esercizio. Convertire $43_{10}$ in binario con le divisioni successive.

Si divide ripetutamente per 2, leggendo i resti dal basso:

$43:2=21\ r\,1,\ \ 21:2=10\ r\,1,\ \ 10:2=5\ r\,0,\ \ 5:2=2\ r\,1,\ \ 2:2=1\ r\,0,\ \ 1:2=0\ r\,1.$

Resti dal basso verso l’alto: $101011$ :

$43_{10}=101011_2.$

Verifica: $32+8+2+1=43$ . ✓ Il metodo delle divisioni successive vale per qualunque base destinazione.

3. Da decimale a esadecimale

Esercizio. Convertire $254_{10}$ in esadecimale.

Divisioni successive per 16:

$254:16=15\ r\,14,\qquad 15:16=0\ r\,15.$

Le cifre $14$ e $15$ in esadecimale sono $E$ e $F$ . Resti dal basso:

$254_{10}=\text{FE}_{16}.$

Verifica: $15\times16+14=240+14=254$ . ✓ L’esadecimale usa $A$ – $F$ per le cifre $10$ – $15$ .

4. Conversione binario ↔ esadecimale

Esercizio. Convertire $11010110_2$ in esadecimale.

Si raggruppano i bit a gruppi di 4 (una cifra esadecimale per nibble), da destra:

$\underbrace{1101}_{D}\ \underbrace{0110}_{6}\ \Rightarrow\ \text{D6}_{16}.$

( $1101_2=13=D$ , $0110_2=6$ .) Il legame binario-esadecimale è diretto perché $16=2^4$ : ogni 4 bit = 1 cifra esadecimale. È il motivo per cui l’esadecimale è comodo per i programmatori.

5. Conversione binario ↔ ottale

Esercizio. Convertire $11010110_2$ in ottale.

Si raggruppano i bit a gruppi di 3 (perché $8=2^3$ ), da destra:

$\underbrace{11}_{3}\ \underbrace{010}_{2}\ \underbrace{110}_{6}\ \Rightarrow\ 326_8.$

(Si completa il gruppo più a sinistra con zeri: $011_2=3$ .) Verifica: $3\times64+2\times8+6=192+16+6=214$ , e $11010110_2=214$ . ✓

6. Conversione della parte frazionaria

Esercizio. Convertire $0{,}625_{10}$ in binario.

Si moltiplica ripetutamente per 2, leggendo le parti intere dall’alto:

$0{,}625\times2=1{,}25\ (1),\quad 0{,}25\times2=0{,}5\ (0),\quad 0{,}5\times2=1{,}0\ (1).$

Parti intere dall’alto verso il basso:

$0{,}625_{10}=0{,}101_2.$

Verifica: $2^{-1}+2^{-3}=0{,}5+0{,}125=0{,}625$ . ✓ Per la parte frazionaria si moltiplica (non si divide), e non tutte le frazioni decimali terminano in binario.

7. Frazione decimale periodica in binario

Esercizio. Perché $0{,}1_{10}$ non ha una rappresentazione binaria finita?

Applichiamo il metodo delle moltiplicazioni successive:

\begin{aligned} 0{,}1\cdot2&=0{,}2\quad (0),\\ 0{,}2\cdot2&=0{,}4\quad (0),\\ 0{,}4\cdot2&=0{,}8\quad (0),\\ 0{,}8\cdot2&=1{,}6\quad (1),\\ 0{,}6\cdot2&=1{,}2\quad (1), \end{aligned}

e da $0{,}2$ il ciclo riparte. Quindi:

0{,}1_{10}=0{,}0001100110011\ldots_2.

Il periodo è inevitabile perché $0{,}1=\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{2\cdot5}$ : il denominatore contiene il fattore $5$ , non una sola potenza di $2$ . In binario terminano solo le frazioni il cui denominatore ridotto è una potenza di due.

8. Indirizzo esadecimale in binario e decimale

Esercizio. Convertire l’indirizzo $\text{0x3A7}$ in binario e in decimale.

Per il binario si espande ogni cifra esadecimale in 4 bit:

3\to0011,\qquad A\to1010,\qquad 7\to0111.

Quindi:

\text{0x3A7}=0011\ 1010\ 0111_2.

Per il decimale:

3\cdot16^2+10\cdot16+7=3\cdot256+160+7=935.

Gli indirizzi di memoria si scrivono spesso in esadecimale proprio perché il passaggio ai bit è immediato: ogni cifra corrisponde esattamente a un nibble.

9. Numero minimo di bit

Esercizio. Quanti bit servono per rappresentare tutti i valori interi da $0$ a $999$ senza segno?

Con $n$ bit senza segno si rappresentano $2^n$ valori, da $0$ a $2^n-1$ . Serve:

2^n\ge1000.

Poiché $2^9=512$ e $2^{10}=1024$ , servono 10 bit. Con 9 bit il massimo sarebbe $511$ , insufficiente; con 10 bit il massimo è $1023$ , quindi l’intervallo contiene tutti i valori richiesti.

Errori comuni

Leggere i resti nell’ordine sbagliato. Nelle divisioni successive i resti vanno letti dal basso (ultimo resto = bit più significativo).
Sbagliare il raggruppamento dei bit. Per l’esadecimale si raggruppa a 4 bit, per l’ottale a 3, partendo da destra.
Dividere la parte frazionaria. La parte intera si divide, la frazionaria si moltiplica per la base.
Pretendere rappresentazioni finite per ogni decimale. In binario molte frazioni decimali diventano periodiche: non è un errore di calcolo, è una proprietà della base.
Dimenticare le cifre A–F. In esadecimale le cifre $10$ – $15$ sono $A$ – $F$ : usare $10,11\dots$ è errore di notazione.