Due modelli classici della ricerca operativa governano risorse e flussi: il lotto economico (EOQ) minimizza il costo di gestione delle scorte bilanciando ordini e giacenze; la teoria delle code descrive sistemi con arrivi casuali e tempi di servizio. Questa scheda allena entrambi, centrali nella logistica e nel dimensionamento dei servizi.
1. Lotto economico EOQ
Esercizio. Domanda annua D=2000\ \text{pezzi}, costo di ordinazione C_o=50 €/ordine, costo di mantenimento C_h=4 €/(pezzo·anno). Calcolare il lotto economico.
La formula di Wilson minimizza il costo totale:
Q^*=\sqrt{\dfrac{2DC_o}{C_h}}=\sqrt{\dfrac{2\times2000\times50}{4}}=\sqrt{\dfrac{200\,000}{4}}=\sqrt{50\,000}=224\ \text{pezzi}.
L’EOQ bilancia i due costi opposti: ordinare grande riduce gli ordini ma alza le giacenze, e viceversa. L’ottimo è dove i due costi si eguagliano.
2. Costo totale all’EOQ
Esercizio. Calcolare il costo annuo totale di gestione al lotto economico Q^*=224.
Il costo totale è ordini più mantenimento:
C_{tot}=\dfrac{D}{Q^*}C_o+\dfrac{Q^*}{2}C_h=\dfrac{2000}{224}\times50+\dfrac{224}{2}\times4=446{,}4+448=894.
Il costo è di circa 894 €/anno.
All’EOQ i due termini sono quasi uguali (446 e 448): è la firma dell’ottimo, dove costo di ordinazione e costo di mantenimento si bilanciano.
3. Numero di ordini e tempo di ciclo
Esercizio. Per l’EOQ del punto 1, quanti ordini all’anno e ogni quanti giorni (anno = 250 giorni lavorativi)?
N=\dfrac{D}{Q^*}=\dfrac{2000}{224}=8{,}9\approx9\ \text{ordini/anno}.
T_{ciclo}=\dfrac{250}{N}=\dfrac{250}{8{,}9}=28\ \text{giorni}.
Si riordina circa ogni 28 giorni. L’EOQ fissa implicitamente la cadenza ottimale degli approvvigionamenti.
4. Punto di riordino
Esercizio. Con consumo giornaliero d=8\ \text{pezzi/giorno} e tempo di consegna L=5\ \text{giorni}, calcolare il punto di riordino (senza scorta di sicurezza).
Il punto di riordino è la giacenza alla quale emettere un nuovo ordine:
ROP=d\times L=8\times5=40\ \text{pezzi}.
Quando la scorta scende a 40, si ordina: durante i 5 giorni di consegna si consumano esattamente i 40 pezzi residui. Con domanda incerta si aggiunge una scorta di sicurezza.
5. Utilizzo di un sistema a coda M/M/1
Esercizio. A uno sportello arrivano clienti con tasso \lambda=12\ \text{clienti/h} e il servizio ha tasso \mu=15\ \text{clienti/h}. Calcolare il fattore di utilizzo e la condizione di stabilità.
\rho=\dfrac{\lambda}{\mu}=\dfrac{12}{15}=0{,}8\ (80\%).
Condizione di stabilità: \rho<1. Qui 0{,}8<1 → il sistema è stabile (la coda non cresce indefinitamente). Se \rho\ge1 gli arrivi superano la capacità e la coda diverge.
6. Numero medio di clienti e tempo nel sistema M/M/1
Esercizio. Per il sistema del punto 5 (\rho=0{,}8), calcolare il numero medio di clienti nel sistema e il tempo medio di permanenza.
Numero medio nel sistema:
L=\dfrac{\rho}{1-\rho}=\dfrac{0{,}8}{1-0{,}8}=\dfrac{0{,}8}{0{,}2}=4\ \text{clienti}.
Tempo medio nel sistema (legge di Little L=\lambda W):
W=\dfrac{L}{\lambda}=\dfrac{4}{12}=0{,}333\ \text{h}=20\ \text{min}.
Notevole effetto dell’utilizzo: a \rho=0{,}8 ci sono già 4 clienti in media; avvicinandosi a \rho=1, L e W esplodono. È il motivo per cui i sistemi vicini alla saturazione hanno attese enormi.
7. Scorta di sicurezza
Esercizio. La domanda media durante il lead time è 40 pezzi. La deviazione standard della domanda durante il lead time è \sigma_L=6 pezzi. Per un livello di servizio circa 95\%, usare z=1{,}65 e calcolare il punto di riordino con scorta di sicurezza.
La scorta di sicurezza è:
Sostituendo:
Il punto di riordino diventa:
Dato che la domanda media durante il lead time è già 40:
Risultato:
La scorta di sicurezza protegge dall’incertezza di domanda e lead time; non modifica il lotto economico, ma sposta verso l’alto il punto di riordino.
8. EOQ con costo totale esplicito
Esercizio. Per D=10\,000 pezzi/anno, C_o=80 €/ordine e C_h=2 €/pezzo anno, calcolare Q^* e il costo annuo minimo di ordinazione più mantenimento.
Il lotto economico è:
Sostituendo:
Il costo annuo minimo è:
Calcoliamo:
Quindi:
All’ottimo i due contributi sono praticamente uguali: costo di ordinazione e costo di mantenimento si bilanciano.
9. Lunghezza media della coda M/M/1
Esercizio. Per lo sportello con \lambda=12\ \text{clienti/h} e \mu=15\ \text{clienti/h}, calcolare L_q e W_q.
Per M/M/1:
Con \rho=0{,}8:
Il tempo medio di attesa in coda è:
Quindi:
Risultato:
Il tempo totale nel sistema era 20 minuti: la differenza, circa 4 minuti, è il tempo medio di servizio.
10. Probabilità di sistema vuoto
Esercizio. Nel sistema M/M/1 con \rho=0{,}8, calcolare la probabilità che non ci siano clienti nel sistema.
Per M/M/1:
Sostituendo:
Risultato:
Anche con utilizzo all’80\%, il server è vuoto il 20\% del tempo. Eliminare completamente l’inattività richiederebbe \rho\to1, ma in quel limite le attese esplodono.
11. Dimensionare il servizio per un tempo massimo
Esercizio. Arrivano \lambda=12 clienti/ora. Quale tasso di servizio \mu serve in un sistema M/M/1 per avere tempo medio nel sistema W\leq10 minuti?
Per M/M/1:
Dieci minuti sono:
Imponiamo:
Invertendo:
Quindi:
Il servizio deve essere almeno il 50\% più rapido degli arrivi medi. Non basta avere \mu appena sopra \lambda: la stabilità evita la divergenza, ma non garantisce tempi accettabili.
12. Legge di Little in un magazzino
Esercizio. In un sistema logistico entrano in media \lambda=200 ordini/giorno e il tempo medio di attraversamento è W=3 giorni. Quanti ordini sono mediamente nel sistema?
La legge di Little è:
Sostituendo:
Risultato:
La formula non richiede ipotesi M/M/1: vale in condizioni stazionarie generali. È uno strumento potente per collegare work-in-process, throughput e lead time.
Errori comuni
- Dimenticare la radice nell’EOQ. Q^*=\sqrt{2DC_o/C_h}: la formula di Wilson è una radice quadrata, non un rapporto diretto.
- Confondere C_o e C_h. Il costo di ordinazione è per ordine; quello di mantenimento è per unità all’anno: scambiarli inverte l’ottimo.
- Applicare M/M/1 con \rho\ge1. Le formule L=\rho/(1-\rho) valgono solo per sistema stabile (\rho<1); oltre, la coda diverge.
- Trascurare la legge di Little. L=\lambda W lega numero medio e tempo medio in qualunque sistema stazionario: è il ponte tra le due grandezze.
- Confondere tempo in coda e tempo nel sistema. W_q esclude il servizio; W include attesa più servizio.
- Usare il solo EOQ senza punto di riordino. Il lotto dice quanto ordinare; il ROP dice quando ordinare.