Prezzo ombra — ingegnerismo.it

Il prezzo ombra è il valore marginale di una risorsa in un problema di programmazione lineare. Indica di quanto cambierebbe localmente il valore ottimo della funzione obiettivo se si aumentasse di una unità il termine noto di un vincolo, mantenendo invariati gli altri dati del modello.

In termini economici, il prezzo ombra risponde alla domanda: quanto vale una unità aggiuntiva di capacità, tempo, materia prima, budget, spazio, personale o disponibilità logistica? Non è necessariamente un prezzo di mercato: è un prezzo implicito calcolato dal modello, valido nelle ipotesi e nell’intervallo di sensitività della soluzione ottima.

Definizione in un problema lineare

Per un problema primale di massimizzazione in forma canonica:

\begin{aligned} \max\quad & c^Tx\\ \text{soggetto a}\quad & Ax\le b,\\ &x\ge0, \end{aligned}

ogni vincolo

a_i^Tx\le b_i

ha associata una variabile duale $y_i$ . All’ottimo, il valore $y_i^\ast$ è il prezzo ombra della risorsa $i$ . Localmente:

y_i^\ast \approx \dfrac{\Delta z^\ast}{\Delta b_i},

dove $z^\ast$ è il valore ottimo del primale. Se $y_i^\ast=5$ , aumentare $b_i$ di una unità aumenta il valore ottimo di circa $5$ , purché la variazione sia abbastanza piccola da non cambiare la base ottima o il regime attivo del problema.

Interpretazione duale

Il duale del problema precedente è:

\begin{aligned} \min\quad & b^Ty\\ \text{soggetto a}\quad & A^Ty\ge c,\\ &y\ge0. \end{aligned}

Le variabili duali $y$ attribuiscono un valore unitario alle risorse. Il vincolo duale associato a una variabile primale $x_j$ impone:

(A^Ty)_j\ge c_j.

La lettura è: il costo implicito delle risorse usate dall’attività $j$ deve coprire almeno il profitto o contributo diretto $c_j$ . Se non lo coprisse, quell’attività sarebbe ancora conveniente e l’attuale sistema di prezzi non potrebbe certificare l’ottimo. La dualità lineare rende quindi il prezzo ombra un certificato economico dell’ottimalità, non solo un numero accessorio del tableau.

Vincoli attivi e scarti complementari

Il prezzo ombra è nullo quando la risorsa non è scarsa nella soluzione ottima. Dagli scarti complementari:

y_i^\ast(b_i-a_i^Tx^\ast)=0

segue che:

Situazione del vincolo	Slack $b_i-a_i^Tx^\ast$	Prezzo ombra
vincolo non attivo	positivo	necessariamente nullo
vincolo attivo	nullo	può essere positivo, nullo o dipendere da degenerazione

Un vincolo non attivo lascia risorsa inutilizzata: aumentarla non migliora nulla, quindi il suo valore marginale è zero. Un vincolo attivo esaurisce la risorsa: può avere prezzo ombra positivo, ma non è garantito che lo abbia. In soluzioni degeneri o con risorse ridondanti, un vincolo può essere attivo senza essere realmente limitante in senso economico.

Segno e tipo di vincolo

Il segno del prezzo ombra dipende dalla forma del problema. Nel caso canonico di massimizzazione con vincoli $Ax\le b$ e $x\ge0$ , le variabili duali soddisfano:

y_i\ge0.

Questo è coerente con l’interpretazione: aumentare una disponibilità non dovrebbe peggiorare il massimo ottenibile. Se invece si lavora con problemi di minimizzazione, vincoli di tipo $\ge$ , uguaglianze o variabili libere, i segni e l’interpretazione vanno riletti secondo la forma duale corretta.

Per esempio, in un problema di costo minimo, il prezzo ombra di un requisito minimo può indicare quanto aumenta il costo ottimo se si richiede una unità in più di servizio, domanda o qualità. In quel caso il numero resta marginale, ma la direzione economica cambia: non “guadagno aggiuntivo”, bensì “costo aggiuntivo”.

Validità locale e analisi di sensitività

Il prezzo ombra è una derivata locale del valore ottimo rispetto al termine noto del vincolo. Non va esteso automaticamente a variazioni grandi. Se si aumenta molto $b_i$ , possono cambiare:

i vincoli attivi;
la base ottima del simplesso;
le attività prodotte;
il valore marginale della risorsa;
persino il collo di bottiglia principale del sistema.

Per questo i report di metodo del simplesso e i solver di programmazione lineare riportano spesso intervalli di sensitività. Dentro l’intervallo, il prezzo ombra resta valido; fuori dall’intervallo bisogna risolvere nuovamente il modello o aggiornare l’analisi.

Rapporto con i costi ridotti

Il costo ridotto di una variabile non in base misura quanto sarebbe conveniente introdurre una nuova attività nella soluzione. Per una variabile $x_j$ , in una convenzione di massimizzazione, si può scrivere:

\bar c_j = c_j-y^{\ast T}a_j.

Qui $c_j$ è il contributo diretto dell’attività e $y^{\ast T}a_j$ è il costo opportunità delle risorse consumate. Se il contributo diretto non supera il valore implicito delle risorse, l’attività non entra nella soluzione ottima.

Questa formula rende chiaro il legame tra prezzo ombra e scelta produttiva: le risorse scarse hanno prezzi duali elevati e rendono più costoso, in senso opportunità, utilizzare attività che le consumano.

Esempio interpretativo

Supponiamo che un impianto massimizzi il margine giornaliero usando ore macchina, materia prima e personale. Se il prezzo ombra del vincolo sulle ore macchina è $120\ \text{euro/ora}$ , una ora macchina aggiuntiva vale circa $120$ euro di margine ottimo, finché restano valide la stessa base e la stessa struttura dei vincoli attivi.

Se il prezzo ombra della materia prima è zero, il modello sta dicendo che la materia prima non è il collo di bottiglia nella soluzione corrente. Aumentarne la disponibilità non cambia l’ottimo, almeno localmente. Questo non significa che la materia prima sia inutile: significa che, dati gli altri vincoli, non è la risorsa marginalmente scarsa.

Problemi di trasporto e reti

Nel problema dei trasporti, i prezzi ombra appaiono come potenziali duali associati a origini e destinazioni. Per una rotta $(i,j)$ il costo ridotto confronta il costo effettivo della rotta con la somma dei potenziali:

\bar c_{ij}=c_{ij}-u_i-v_j.

Se una rotta non usata ha costo ridotto negativo in un problema di minimizzazione, può migliorare la soluzione. Anche qui l’idea è la stessa: i potenziali duali danno un valore implicito ai nodi o alle risorse e i costi ridotti indicano se conviene modificare il piano.

Errori comuni

Il primo errore è interpretare il prezzo ombra come valore globale. È un valore marginale locale: moltiplicarlo per variazioni grandi può produrre stime sbagliate.

Il secondo errore è dimenticare la direzione del problema. In una massimizzazione un prezzo ombra positivo misura beneficio marginale; in una minimizzazione può misurare costo marginale di un requisito più severo.

Il terzo errore è attribuire prezzo ombra positivo a una risorsa non satura. Se il vincolo ha slack positivo, gli scarti complementari impongono prezzo ombra nullo nella forma canonica.

Infine, il prezzo ombra dipende dal modello. Se costi, capacità, linearità, divisibilità delle variabili o domanda sono modellati male, il prezzo ombra sarà matematicamente coerente ma economicamente fuorviante.

Vedi anche: Dualità lineare, Programmazione lineare, Metodo del simplesso, Problema dei trasporti, Ricerca operativa ed esercizi su simplesso e dualità.