PERT/CPM — ingegnerismo.it

PERT (Program Evaluation and Review Technique) e CPM (Critical Path Method) sono metodi reticolari per pianificare progetti con attività, durate e precedenze.

Servono quando il progetto non è soltanto una lista di attività, ma una rete di dipendenze: alcune attività possono procedere in parallelo, altre devono attendere completamenti precedenti. La WBS definisce il lavoro da fare; PERT/CPM trasforma quel lavoro in una schedulazione logica.

Reticolo di progetto

Ogni attività ha una durata $d_i$ e un insieme di predecessori. Il reticolo consente di calcolare:

quando un’attività può iniziare al più presto;
quanto può slittare senza ritardare il progetto;
quali attività appartengono al cammino critico.

Grandezza	Formula	Significato
Inizio al più presto	$\displaystyle ES_j=\max_{i\in P(j)}EF_i$	L’attività può partire solo dopo il predecessore più vincolante.
Fine al più presto	$\displaystyle EF_j=ES_j+d_j$	Data di completamento anticipata dell’attività.
Fine al più tardi	$\displaystyle LF_i=\min_{j\in S(i)}LS_j$	Limite oltre cui l’attività ritarda almeno un successore.
Inizio al più tardi	$\displaystyle LS_i=LF_i-d_i$	Ultimo inizio compatibile con la durata del progetto.
Slack totale	$\displaystyle SL_i=LS_i-ES_i=LF_i-EF_i$	Margine disponibile prima che l’attività diventi critica.

Passaggio in avanti

Nel passaggio in avanti si attraversa il reticolo dall’inizio alla fine. Per ogni attività si prende il massimo tra le fini al più presto dei predecessori:

ES_j=\max_{i\in P(j)}EF_i, \qquad EF_j=ES_j+d_j

Il massimo è essenziale: se un’attività attende più predecessori, non basta che ne finisca uno; deve essere completato l’ultimo tra quelli necessari.

Passaggio all’indietro

Nel passaggio all’indietro si parte dalla durata finale del progetto e si risale verso l’inizio. Per ogni attività si prende il minimo tra gli inizi al più tardi dei successori:

LF_i=\min_{j\in S(i)}LS_j, \qquad LS_i=LF_i-d_i

Il minimo individua il successore più restrittivo. Se un’attività alimenta più rami, il suo ritardo è ammesso solo finché non mette in crisi il ramo che tollera meno slittamento.

Slack e cammino critico

Lo slack totale è:

SL_i=LS_i-ES_i=LF_i-EF_i

Le attività con $SL_i=0$ sono critiche: un loro ritardo ritarda l’intero progetto.

Caso	Lettura gestionale	Azione tipica
$\displaystyle SL_i=0$	Attività critica.	Monitoraggio stretto, priorità a risorse e rimozione vincoli.
$\displaystyle SL_i>0$	Attività non critica con margine.	Possibile assorbimento di ritardi o riallocazione risorse.
Più cammini critici	Progetto molto rigido.	Ridurre durate su più rami, non su uno solo.
Slack negativo	Scadenza imposta incompatibile con il piano corrente.	Compressione tempi, ripianificazione o revisione obiettivi.

Il cammino critico non è sempre stabile: se un’attività non critica consuma tutto il proprio slack, può diventare critica durante l’esecuzione. Per questo PERT/CPM è anche uno strumento di controllo avanzamento, non solo di pianificazione iniziale.

PERT e incertezza

Nel PERT con stime ottimistica $a$ , più probabile $m$ e pessimistica $b$ :

t_e=\dfrac{a+4m+b}{6}, \qquad \sigma^2=\left(\dfrac{b-a}{6}\right)^2

La durata attesa del cammino critico si ottiene sommando le durate attese delle attività critiche:

\mu_C=\sum_{i\in C} t_{e,i}

e, assumendo indipendenza delle durate, la varianza del cammino è:

\sigma_C^2=\sum_{i\in C}\sigma_i^2

Questa approssimazione consente di stimare il rischio di superare una scadenza $D$ tramite una normalizzazione:

z=\dfrac{D-\mu_C}{\sigma_C}

È una lettura probabilistica semplificata: funziona come stima gestionale rapida, ma non sostituisce una simulazione quando le durate sono fortemente dipendenti o quando il cammino critico può cambiare.

Differenza tra PERT e CPM

Metodo	Ipotesi sulle durate	Uso tipico
PERT	Durate incerte, stimate con tre valori.	Progetti innovativi, ricerca, sviluppo prodotto.
CPM	Durate deterministiche o trattate come note.	Cantieri, manutenzioni, produzione su attività ripetibili.
Uso integrato	Reticolo unico con durate stimate e controllo dello slack.	Pianificazione reale di progetti con dati parziali.

Schema operativo

partire dalla WBS e trasformare i pacchetti di lavoro in attività schedulabili;
definire precedenze e vincoli logici;
stimare le durate, in modo deterministico o con triple PERT;
calcolare passaggio in avanti e passaggio all’indietro;
individuare slack e cammino critico;
aggiornare il reticolo quando cambiano durate, risorse o vincoli.

L’errore più comune è trattare il cammino critico come una decorazione del diagramma di progetto. In realtà è la catena di vincoli che governa la durata minima: aggiungere risorse fuori dal cammino critico può migliorare l’efficienza locale, ma non accorcia la data finale.

Vedi anche: Ottimizzazione su Reti, Ricerca Operativa, Programmazione Lineare.