Viscosità e flusso di Couette: esercizi svolti

Nei fluidi reali la viscosità $\mu$ misura la resistenza allo scorrimento. Per un fluido newtoniano lo sforzo di taglio è proporzionale al gradiente di velocità:

$\tau=\mu\dfrac{dv}{dy}.$

Nel flusso di Couette (fluido tra una lastra ferma e una in moto) il profilo di velocità è lineare e il gradiente vale $v/d$ , con $d$ la distanza tra le lastre. La viscosità dinamica $\mu$ si misura in Pa·s; la viscosità cinematica è $\nu=\mu/\rho$ (m²/s). L’acqua a $20°\text{C}$ ha $\mu\approx1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ .

1. Sforzo di taglio (flusso di Couette)

Esercizio. Tra due lastre distanti $d=2{,}0\ \text{mm}$ c’è olio ( $\mu=0{,}30\ \text{Pa·s}$ ). La lastra superiore si muove a $v=0{,}50\ \text{m/s}$ (profilo lineare). Quale sforzo di taglio?

Gradiente $dv/dy=v/d$ :

$\tau=\mu\dfrac{v}{d}=0{,}30\times\dfrac{0{,}50}{2{,}0\times10^{-3}}=0{,}30\times250=75\ \text{Pa}.$

2. Forza per trascinare una lastra

Esercizio. La lastra superiore precedente ha area $A=0{,}40\ \text{m}^2$ . Quale forza per muoverla a velocità costante?

$F=\tau A=75\times0{,}40=30\ \text{N}.$

A velocità costante questa forza esterna bilancia esattamente la resistenza viscosa.

3. Potenza dissipata nel trascinamento

Esercizio. Quale potenza serve per mantenere la lastra ( $F=30\ \text{N}$ , $v=0{,}50\ \text{m/s}$ ) in moto?

$P=Fv=30\times0{,}50=15\ \text{W}.$

Tutta questa potenza viene dissipata in calore nel fluido (attrito viscoso).

4. Viscosità da una misura di forza

Esercizio. Una lastra ( $A=0{,}25\ \text{m}^2$ ) scorre a $v=0{,}80\ \text{m/s}$ su un film d’olio spesso $d=1{,}0\ \text{mm}$ ; serve una forza $F=40\ \text{N}$ . Quale viscosità dell’olio?

Da $F=\mu\dfrac{v}{d}A$ :

$\mu=\dfrac{F\,d}{A\,v}=\dfrac{40\times1{,}0\times10^{-3}}{0{,}25\times0{,}80}=\dfrac{0{,}040}{0{,}20}=0{,}20\ \text{Pa·s}.$

5. Viscosità dinamica e cinematica

Esercizio. Un olio ha $\mu=0{,}20\ \text{Pa·s}$ e densità $\rho=880\ \text{kg/m}^3$ . Quale viscosità cinematica?

$\nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{0{,}20}{880}=2{,}27\times10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s}.$

(In CGS: $2{,}27\ \text{St}$ , stokes; l’acqua ha $\nu\approx1\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s}=1\ \text{cSt}$ .)

6. Profilo di velocità nel film

Esercizio. Nel film di Couette dell’esercizio 1 ( $d=2{,}0\ \text{mm}$ , lastra a $v=0{,}50\ \text{m/s}$ ), quale velocità del fluido a metà spessore ( $y=1{,}0\ \text{mm}$ dalla lastra ferma)?

Il profilo è lineare, $v(y)=v\,y/d$ :

$v(1{,}0\ \text{mm})=0{,}50\times\dfrac{1{,}0}{2{,}0}=0{,}25\ \text{m/s}.$

A metà spessore la velocità è metà di quella della lastra mobile.

7. Piano inclinato — lastra che scivola su un film d’olio

Esercizio. Un blocco ( $m=2{,}0\ \text{kg}$ , base $A=0{,}10\ \text{m}^2$ ) scivola a velocità costante su un piano inclinato di $\theta=15°$ , separato da un film d’olio spesso $d=0{,}10\ \text{mm}$ . Quale viscosità dell’olio se $v=0{,}30\ \text{m/s}$ ?

A velocità costante la componente del peso lungo il piano bilancia la forza viscosa.

Passo 1 — forza motrice.

\begin{aligned} F &=mg\sin\theta\\ &=2{,}0\times9{,}8\times\sin15°\\ &=2{,}0\times9{,}8\times0{,}259\\ &=5{,}07\ \text{N}. \end{aligned}

Passo 2 — viscosità ( $F=\mu\,vA/d$ ):

\begin{aligned} \mu &=\dfrac{F\,d}{A\,v}\\ &=\dfrac{5{,}07\times1{,}0\times10^{-4}}{0{,}10\times0{,}30}\\ &=\dfrac{5{,}07\times10^{-4}}{0{,}030}\\ &=1{,}69\times10^{-2}\ \text{Pa·s}. \end{aligned}

8. Cuscinetto piano lubrificato

Esercizio. Un pattino ( $A=0{,}020\ \text{m}^2$ ) scorre a $v=3{,}0\ \text{m/s}$ su un film d’olio ( $\mu=0{,}10\ \text{Pa·s}$ ) spesso $d=0{,}050\ \text{mm}$ . Quale forza d’attrito viscoso?

$F=\mu\dfrac{v}{d}A=0{,}10\times\dfrac{3{,}0}{0{,}050\times10^{-3}}\times0{,}020=0{,}10\times6{,}0\times10^4\times0{,}020=120\ \text{N}.$

Film sottili ( $d$ piccolo) danno sforzi di taglio elevati: la lubrificazione richiede un compromesso tra spessore e attrito.

9. Viscosimetro a cilindri coassiali — coppia

Esercizio. Un cilindro interno (raggio $R=4{,}0\ \text{cm}$ , altezza $L=10\ \text{cm}$ ) ruota a velocità periferica $v=0{,}60\ \text{m/s}$ in un fluido ( $\mu=0{,}15\ \text{Pa·s}$ ) separato da un’intercapedine $d=1{,}0\ \text{mm}$ dal cilindro esterno fermo. Quale coppia resistente?

Passo 1 — sforzo di taglio sulla parete laterale. $\tau=\mu\,v/d=0{,}15\times0{,}60/(1{,}0\times10^{-3})=90\ \text{Pa}$ .

Passo 2 — forza tangenziale sull’area laterale $A=2\pi R L=2\pi\times0{,}040\times0{,}10=0{,}0251\ \text{m}^2$ :

$F=\tau A=90\times0{,}0251=2{,}26\ \text{N}.$

Passo 3 — coppia ( $M=F\,R$ ):

$M=2{,}26\times0{,}040=0{,}0905\ \text{N·m}\approx9{,}0\times10^{-2}\ \text{N·m}.$

È il principio del viscosimetro rotazionale: dalla coppia misurata si ricava $\mu$ .

10. Confronto tra fluidi a parità di sforzo

Esercizio. Per ottenere lo stesso sforzo di taglio $\tau=50\ \text{Pa}$ con acqua ( $\mu_a=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ ) e con glicerina ( $\mu_g=1{,}5\ \text{Pa·s}$ ), in un film spesso $d=1{,}0\ \text{mm}$ , quali velocità della lastra?

Da $\tau=\mu\,v/d$ si ricava $v=\tau d/\mu$ :

\begin{aligned} v_\text{acqua} &=\dfrac{50\times1{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}} =50\ \text{m/s},\\ v_\text{glic} &=\dfrac{50\times1{,}0\times10^{-3}}{1{,}5} =0{,}033\ \text{m/s}. \end{aligned}

La glicerina, $1500$ volte più viscosa, richiede una velocità $1500$ volte minore per lo stesso sforzo.

Sintesi

Concetto	Formula
Sforzo di taglio (newtoniano)	$\tau=\mu\,dv/dy$
Couette (profilo lineare)	$\tau=\mu\,v/d$
Forza di trascinamento	$F=\mu\,vA/d$
Potenza dissipata	$P=Fv$
Viscosità cinematica	$\nu=\mu/\rho$
Coppia (cilindri coassiali)	$M=\mu\,(v/d)\,A\,R$

Errori da evitare:

confondere viscosità dinamica $\mu$ (Pa·s) e cinematica $\nu=\mu/\rho$ (m²/s);
dimenticare che lo sforzo cresce al diminuire dello spessore del film ( $\tau\propto1/d$ );
usare il diametro invece dell’intercapedine nel calcolo del gradiente del viscosimetro coassiale;
trascurare che la potenza di trascinamento è interamente dissipata in calore (non si “recupera”).