La teoria cinetica spiega le proprietà macroscopiche dei gas dal moto delle molecole. Il risultato fondamentale lega la temperatura all’energia cinetica media:
\langle E_\text{cin}\rangle=\dfrac{3}{2} k_B T,
dove k_B=1{,}38\times10^{-23}\ \text{J/K} è la costante di Boltzmann. Da qui si ricava la velocità quadratica media:
v_\text{qm}=\sqrt{\dfrac{3k_B T}{m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
con m massa di una molecola e M massa molare. La pressione è l’effetto macroscopico degli urti molecolari contro le pareti.
1. Energia cinetica media di una molecola
Esercizio. Calcolare l’energia cinetica media di una molecola di gas a T=300\ \text{K}.
\langle E_\text{cin}\rangle=\dfrac{3}{2} k_B T=\dfrac{3}{2}\times1{,}38\times10^{-23}\times300=6{,}21\times10^{-21}\ \text{J}.
Dipende solo dalla temperatura, non dal tipo di gas.
2. Energia cinetica di una mole
Esercizio. Quale energia cinetica traslazionale totale ha una mole di gas a 300\ \text{K}?
Si moltiplica l’energia media per il numero di Avogadro (equivalente a \dfrac{3}{2} RT):
E=\dfrac{3}{2} RT=\dfrac{3}{2}\times8{,}314\times300=3741\ \text{J}\approx3{,}74\ \text{kJ}.
3. Velocità quadratica media
Esercizio. Calcolare la velocità quadratica media delle molecole di azoto (M=28\times10^{-3}\ \text{kg/mol}) a T=300\ \text{K}.
Le molecole d’aria si muovono a centinaia di m/s a temperatura ambiente.
4. Confronto velocità tra gas diversi
Esercizio. A parità di temperatura, quante volte è più veloce l’idrogeno (M=2) rispetto all’ossigeno (M=32\ \text{g/mol})?
Dalla relazione v_\text{qm}\propto1/\sqrt{M}:
\dfrac{v_{H_2}}{v_{O_2}}=\sqrt{\dfrac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}=\sqrt{\dfrac{32}{2}}=\sqrt{16}=4.
L’idrogeno è 4 volte più veloce: le molecole leggere si muovono più rapidamente a parità di T.
5. Temperatura da velocità
Esercizio. A quale temperatura le molecole di ossigeno (M=32\times10^{-3}\ \text{kg/mol}) hanno v_\text{qm}=600\ \text{m/s}?
Isolando T da v_\text{qm}=\sqrt{3RT/M}:
6. Velocità di una singola molecola
Esercizio. Calcolare v_\text{qm} di una molecola d’acqua (m=3{,}0\times10^{-26}\ \text{kg}) a 373\ \text{K} usando k_B.
7. Le tre velocità della distribuzione di Maxwell-Boltzmann
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann ha tre velocità caratteristiche: più probabile v_p, media \bar{v}, quadratica media v_\text{qm}, con v_p<\bar{v}<v_\text{qm}.
Esercizio. Dato v_\text{qm}=500\ \text{m/s}, stimare v_p e \bar{v} usando i rapporti v_p=\sqrt{2/3}\,v_\text{qm} e \bar{v}=\sqrt{8/(3\pi)}\,v_\text{qm}.
Velocità più probabile:
v_p=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,v_\text{qm}=0{,}816\times500=408\ \text{m/s}.
Velocità media:
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8}{3\pi}}\,v_\text{qm}=0{,}921\times500=461\ \text{m/s}.
Ordine confermato: 408<461<500\ \text{m/s}.
8. Cammino libero medio
Il cammino libero medio è la distanza media tra due urti successivi: \lambda=\dfrac{1}{\sqrt2\,\pi d^2 n}, con d diametro molecolare e n densità numerica.
Esercizio. Stimare il cammino libero medio per un gas con n=2{,}5\times10^{25}\ \text{m}^{-3} e diametro molecolare d=3{,}0\times10^{-10}\ \text{m}.
Passo 1 — denominatore.
\sqrt2\,\pi d^2 n=1{,}414\times3{,}1416\times(3{,}0\times10^{-10})^2\times2{,}5\times10^{25}. =4{,}443\times9{,}0\times10^{-20}\times2{,}5\times10^{25}=4{,}443\times2{,}25\times10^{6}=1{,}0\times10^{7}\ \text{m}^{-1}.
Passo 2 — cammino libero medio.
\lambda=\dfrac{1}{1{,}0\times10^7}=1{,}0\times10^{-7}\ \text{m}=100\ \text{nm}.
Le molecole percorrono circa 100\ \text{nm} tra un urto e il successivo (a pressione ambiente).
9. Pressione dalla teoria cinetica
La pressione è legata all’energia cinetica:
P=\dfrac{1}{3}\dfrac{N}{V}m\langle v^2\rangle=\dfrac{N}{V}\langle E_\text{cin}\rangle\cdot\dfrac{2}{3}.
Esercizio. Verificare che la teoria cinetica riproduce PV=nRT.
Da P=\dfrac{1}{3}\rho\langle v^2\rangle e \langle v^2\rangle=3k_BT/m:
PV=\dfrac{1}{3} Nm\langle v^2\rangle=\dfrac{1}{3} Nm\cdot\dfrac{3k_BT}{m}=Nk_BT=nRT,
usando Nk_B=nR. La legge dei gas perfetti emerge dalla teoria cinetica. ✓
10. Raddoppio della temperatura
Esercizio. Se la temperatura assoluta di un gas raddoppia, di quanto cambia la velocità quadratica media?
Da v_\text{qm}\propto\sqrt{T}:
\dfrac{v_2}{v_1}=\sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}}=\sqrt{2}=1{,}41.
La velocità aumenta di \sqrt2 (circa 41\%), non del doppio. L’energia cinetica invece raddoppia (\propto T).
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Energia cinetica media | \langle E_\text{cin}\rangle=\dfrac{3}{2} k_B T |
| Velocità quadratica media | v_\text{qm}=\sqrt{3RT/M}=\sqrt{3k_BT/m} |
| Velocità più probabile | v_p=\sqrt{2RT/M} |
| Velocità media | \bar{v}=\sqrt{8RT/(\pi M)} |
| Cammino libero medio | \lambda=1/(\sqrt2\,\pi d^2 n) |
Ordine: v_p<\bar{v}<v_\text{qm}. Velocità \propto1/\sqrt{M} e \propto\sqrt{T}.
Errori da evitare:
- usare la massa molare in g/mol invece di kg/mol nelle formule SI;
- confondere energia cinetica (∝ T) e velocità (∝ √T);
- usare R con la massa di una molecola, o k_B con la massa molare (devono essere coerenti).