Tensione superficiale e capillarità: esercizi svolti

La tensione superficiale $\gamma$ è l’energia per unità di superficie (o, equivalentemente, la forza per unità di lunghezza del bordo), misurata in N/m. Genera i fenomeni capillari: risalita o depressione di un liquido in tubi sottili (legge di Jurin) e sovrappressione all’interno di gocce e bolle (legge di Laplace):

\begin{aligned} h&=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{\rho g r} &&(\text{Jurin}),\\ \Delta p&=\dfrac{2\gamma}{r} &&(\text{goccia}),\\ \Delta p&=\dfrac{4\gamma}{r} &&(\text{bolla di sapone}). \end{aligned}

L’angolo di contatto $\vartheta$ distingue i liquidi bagnanti ( $\vartheta<90°$ , risalita) da quelli non bagnanti ( $\vartheta>90°$ , depressione).

1. Forza di tensione superficiale su un telaio

Esercizio. Una lamina di sapone è tesa su un telaio con un lato mobile lungo $\ell=8{,}0\ \text{cm}$ . La tensione superficiale è $\gamma=2{,}5\times10^{-2}\ \text{N/m}$ . Quale forza tiene fermo il lato mobile?

Una lamina di sapone ha due superfici (anteriore e posteriore), quindi $F=2\gamma\ell$ :

$F=2\times2{,}5\times10^{-2}\times0{,}080=4{,}0\times10^{-3}\ \text{N}.$

Per una sola interfaccia liquido-aria sarebbe $F=\gamma\ell$ .

2. Misura di γ con l’anello (metodo di du Noüy)

Esercizio. Un anello di raggio $R=2{,}0\ \text{cm}$ si stacca dalla superficie dell’acqua quando la forza supera $F=1{,}83\times10^{-2}\ \text{N}$ (oltre al peso). Quale tensione superficiale?

Il film aderisce sui due bordi (interno ed esterno) dell’anello, lunghezza totale $2\times2\pi R$ :

\begin{aligned} \gamma &=\dfrac{F}{2\,(2\pi R)}\\ &=\dfrac{1{,}83\times10^{-2}}{2\times2\pi\times0{,}020}\\ &=\dfrac{1{,}83\times10^{-2}}{0{,}251}\\ &=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}. \end{aligned}

Valore tipico dell’acqua a temperatura ambiente.

3. Energia per creare nuova superficie

Esercizio. Quanto lavoro serve per gonfiare una bolla di sapone fino a raggio $r=3{,}0\ \text{cm}$ ( $\gamma=2{,}5\times10^{-2}\ \text{N/m}$ ), partendo da volume trascurabile?

Il lavoro è $\gamma$ × area creata; la bolla ha due superfici sferiche ( $2\times4\pi r^2$ ):

\begin{aligned} W &=\gamma\,(2\times4\pi r^2)\\ &=2{,}5\times10^{-2}\times8\pi\times(0{,}030)^2\\ &=2{,}5\times10^{-2}\times0{,}02262\\ &=5{,}65\times10^{-4}\ \text{J}. \end{aligned}

4. Legge di Jurin — risalita capillare

Esercizio. Un capillare di vetro ( $r=0{,}25\ \text{mm}$ ) è immerso in acqua ( $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ , $\vartheta\approx0°$ , $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ ). Di quanto sale l’acqua?

La legge di Jurin bilancia tensione superficiale e peso della colonna:

\begin{aligned} h &=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{\rho g r}\\ &=\dfrac{2\times7{,}3\times10^{-2}\times\cos0°}{1000\times9{,}8\times0{,}25\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{0{,}146}{2{,}45}\\ &=0{,}0596\ \text{m}\approx6{,}0\ \text{cm}. \end{aligned}

L’acqua bagna il vetro ( $\vartheta<90°$ ): risale. Più stretto il tubo, più alta la risalita ( $h\propto1/r$ ).

5. Raggio da una risalita misurata

Esercizio. In un capillare l’acqua sale di $h=3{,}0\ \text{cm}$ ( $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ , $\vartheta=0°$ ). Quale raggio del tubo?

Invertendo Jurin, $r=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{\rho g h}$ :

\begin{aligned} r &=\dfrac{2\times7{,}3\times10^{-2}}{1000\times9{,}8\times0{,}030}\\ &=\dfrac{0{,}146}{294}\\ &=4{,}97\times10^{-4}\ \text{m}\approx0{,}50\ \text{mm}. \end{aligned}

6. Angolo di contatto — depressione del mercurio

Esercizio. Nello stesso capillare ( $r=0{,}25\ \text{mm}$ ) si immerge mercurio ( $\gamma=0{,}49\ \text{N/m}$ , $\vartheta=140°$ , $\rho=13\,600\ \text{kg/m}^3$ ). Quanto scende il livello?

Stessa legge di Jurin; con $\vartheta=140°$ il coseno è negativo ( $\cos140°=-0{,}766$ ):

\begin{aligned} h &=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{\rho g r}\\ &=\dfrac{2\times0{,}49\times(-0{,}766)}{13\,600\times9{,}8\times0{,}25\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{-0{,}751}{33{,}3}\\ &=-0{,}0225\ \text{m}. \end{aligned}

Il valore negativo indica una depressione di $\approx2{,}3\ \text{cm}$ : il mercurio non bagna il vetro ( $\vartheta>90°$ ) e scende sotto il livello esterno.

7. Capillarità tra due lastre piane

Esercizio. Due lastre di vetro parallele, distanti $d=0{,}50\ \text{mm}$ , sono immerse in acqua ( $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ , $\vartheta=0°$ ). Di quanto sale l’acqua tra le lastre?

Per due lastre l’equilibrio tra la forza di tensione (sui due menischi, larghezza unitaria) e il peso della colonna sollevata dà una formula analoga a Jurin, con la distanza $d$ al posto del raggio:

\begin{aligned} h &=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{\rho g\,d}\\ &=\dfrac{2\times7{,}3\times10^{-2}}{1000\times9{,}8\times0{,}50\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{0{,}146}{4{,}9}\\ &=0{,}0298\ \text{m}\approx3{,}0\ \text{cm}. \end{aligned}

8. Legge di Laplace — sovrappressione in una goccia

Esercizio. Quale sovrappressione interna ha una goccia d’acqua di raggio $r=1{,}0\ \text{mm}$ ( $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ )?

Una goccia ha una sola interfaccia liquido-aria, $\Delta p=2\gamma/r$ :

$\Delta p=\dfrac{2\times7{,}3\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{-3}}=146\ \text{Pa}.$

9. Legge di Laplace — bolla di sapone

Esercizio. Quale sovrappressione ha una bolla di sapone di raggio $r=1{,}0\ \text{mm}$ ( $\gamma=2{,}5\times10^{-2}\ \text{N/m}$ )?

La bolla di sapone ha due interfacce (film con aria dentro e fuori), $\Delta p=4\gamma/r$ :

$\Delta p=\dfrac{4\times2{,}5\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{-3}}=100\ \text{Pa}.$

A parità di raggio, la sovrappressione cresce al diminuire del raggio: due bolle collegate fanno fluire l’aria dalla piccola (più pressione) alla grande.

10. Due bolle collegate

Esercizio. Due bolle di sapone ( $\gamma=2{,}5\times10^{-2}\ \text{N/m}$ ), una di raggio $r_1=1{,}0\ \text{mm}$ e una di $r_2=2{,}0\ \text{mm}$ , sono collegate da un tubicino. In quale verso fluisce l’aria, e quale differenza di pressione le spinge?

Sovrappressioni ( $\Delta p=4\gamma/r$ ):

\begin{aligned} \Delta p_1 &=\dfrac{4\times2{,}5\times10^{-2}}{1{,}0\times10^{-3}} =100\ \text{Pa},\\ \Delta p_2 &=\dfrac{4\times2{,}5\times10^{-2}}{2{,}0\times10^{-3}} =50\ \text{Pa}. \end{aligned}

La bolla piccola ha pressione maggiore ( $100>50\ \text{Pa}$ ): l’aria fluisce dalla piccola alla grande, con differenza $\Delta p_1-\Delta p_2=50\ \text{Pa}$ . La piccola si svuota, la grande cresce.

11. Pressione capillare in un poro

Esercizio. Un poro cilindrico di raggio $r=20\ \mu\text{m}$ contiene acqua con $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ e angolo di contatto $\vartheta=30°$ . Calcolare la pressione capillare.

La pressione capillare associata al menisco è:

\Delta p=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{r}.

Numericamente:

\Delta p=\dfrac{2\times7{,}3\times10^{-2}\times\cos30°}{20\times10^{-6}} =\dfrac{0{,}146\times0{,}866}{20\times10^{-6}} =6{,}32\times10^3\ \text{Pa}.

La pressione capillare è circa $6{,}3\ \text{kPa}$ . Nei mezzi porosi questa pressione governa imbibizione, drenaggio, risalita dell’acqua nel suolo e comportamento dei materiali cementizi.

12. Angolo di contatto da una risalita

Esercizio. In un capillare di raggio $r=0{,}40\ \text{mm}$ l’acqua sale di $h=2{,}0\ \text{cm}$ . Con $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ e $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ , stimare l’angolo di contatto.

Dalla legge di Jurin:

h=\dfrac{2\gamma\cos\vartheta}{\rho g r} \quad\Rightarrow\quad \cos\vartheta=\dfrac{h\rho g r}{2\gamma}.

Sostituiamo:

\cos\vartheta =\dfrac{0{,}020\times1000\times9{,}8\times0{,}40\times10^{-3}}{2\times7{,}3\times10^{-2}} =\dfrac{0{,}0784}{0{,}146} =0{,}537.

Quindi:

\vartheta=\arccos(0{,}537)=57{,}5°.

Il liquido è ancora bagnante, perché $\vartheta<90°$ , ma meno del caso acqua-vetro ideale con $\vartheta\approx0°$ .

13. Effetto del tensioattivo sulla sovrappressione

Esercizio. Una piccola cavità sferica di raggio $r=0{,}20\ \text{mm}$ ha interfaccia acqua-aria. Calcolare la sovrappressione se $\gamma=7{,}3\times10^{-2}\ \text{N/m}$ e poi se un tensioattivo riduce $\gamma$ a $2{,}5\times10^{-2}\ \text{N/m}$ .

Per una singola interfaccia sferica:

\Delta p=\dfrac{2\gamma}{r}.

Senza tensioattivo:

\Delta p_1=\dfrac{2\times7{,}3\times10^{-2}}{0{,}20\times10^{-3}} =730\ \text{Pa}.

Con tensioattivo:

\Delta p_2=\dfrac{2\times2{,}5\times10^{-2}}{0{,}20\times10^{-3}} =250\ \text{Pa}.

Ridurre la tensione superficiale riduce direttamente la pressione richiesta per mantenere una superficie curva. È il principio fisico per cui i tensioattivi stabilizzano schiume, emulsioni e film sottili.

Sintesi

Concetto	Formula
Forza superficiale (lamina, 2 facce)	$F=2\gamma\ell$
Energia di superficie	$W=\gamma\,\Delta A$
Legge di Jurin (tubo)	$h=2\gamma\cos\vartheta/(\rho g r)$
Capillarità tra lastre	$h=2\gamma\cos\vartheta/(\rho g d)$
Laplace (goccia)	$\Delta p=2\gamma/r$
Laplace (bolla di sapone)	$\Delta p=4\gamma/r$
Pressione capillare	$\Delta p=2\gamma\cos\vartheta/r$

Errori da evitare:

dimenticare il fattore $2$ per le due superfici di una lamina o bolla (e usare $2\gamma/r$ per la goccia ma $4\gamma/r$ per la bolla di sapone);
ignorare il segno di $\cos\vartheta$ : $\vartheta>90°$ (mercurio) dà depressione, non risalita;
credere che le bolle grandi abbiano più pressione: è il contrario ( $\Delta p\propto1/r$ );
confondere risalita in tubo ( $\propto1/r$ ) e tra lastre ( $\propto1/d$ ): la geometria cambia il fattore;
trascurare l’angolo di contatto nei pori reali: il fattore $\cos\vartheta$ può cambiare modulo e segno della pressione capillare.