Un fluido in quiete rispetto a un recipiente accelerato assume una superficie libera perpendicolare alla gravità apparente, somma vettoriale di \vec g e dell’accelerazione del recipiente cambiata di segno. Per accelerazione orizzontale costante a la superficie si inclina di
\tan\theta=\dfrac{a}{g},
mentre lungo la verticale la pressione segue ancora una legge tipo Stevin con g (o g_\text{app} se c’è anche accelerazione verticale). In rotazione uniforme con velocità angolare \omega la superficie diventa un paraboloide di equazione z(r)=\omega^2 r^2/(2g).
1. Inclinazione della superficie (accelerazione orizzontale)
Esercizio. Un serbatoio aperto d’acqua è su un carrello con accelerazione orizzontale a=2{,}0\ \text{m/s}^2. Di quale angolo si inclina la superficie libera?
La superficie è perpendicolare alla gravità apparente:
\theta=\arctan\dfrac{a}{g}=\arctan\dfrac{2{,}0}{9{,}8}=\arctan0{,}204=11{,}5°.
La superficie si abbassa nel verso dell’accelerazione e si alza dietro.
2. Dislivello tra le estremità
Esercizio. Lo stesso serbatoio (a=2{,}0\ \text{m/s}^2) è lungo L=1{,}5\ \text{m}. Quale dislivello tra le due estremità della superficie?
Dislivello = lunghezza × pendenza (\tan\theta=a/g):
\Delta h=L\tan\theta=L\dfrac{a}{g}=1{,}5\times\dfrac{2{,}0}{9{,}8}=0{,}306\ \text{m}\approx31\ \text{cm}.
3. Accelerazione massima prima del versamento
Esercizio. Un recipiente aperto lungo L=0{,}40\ \text{m} è riempito d’acqua fino a 5{,}0\ \text{cm} sotto il bordo, con un battente medio sufficiente. Il liquido raggiunge il bordo posteriore quando la superficie sale di \Delta h=5{,}0\ \text{cm} su mezza lunghezza. Quale accelerazione orizzontale massima?
La superficie ruota attorno al centro: sul lato che sale, \Delta h=(L/2)\tan\theta. Imponendo \Delta h=0{,}050\ \text{m}:
\tan\theta=\dfrac{2\Delta h}{L}=\dfrac{2\times0{,}050}{0{,}40}=0{,}25\ \Rightarrow\ a=g\tan\theta=9{,}8\times0{,}25=2{,}45\ \text{m/s}^2.
Oltre questa accelerazione l’acqua trabocca dal lato posteriore.
4. Pressione sul fondo con accelerazione orizzontale
Esercizio. In un serbatoio accelerato orizzontalmente la profondità del fluido sul lato posteriore (più alto) è h=0{,}80\ \text{m}. Quale pressione relativa sul fondo in quel punto (\rho=1000\ \text{kg/m}^3)?
Lungo la verticale la componente di gravità è ancora g, quindi Stevin resta valida:
p=\rho g h=1000\times9{,}8\times0{,}80=7840\ \text{Pa}.
L’accelerazione orizzontale inclina la superficie ma non altera il gradiente verticale di pressione.
5. Recipiente in ascensore che accelera verso l’alto
Esercizio. Un recipiente d’acqua è in un ascensore che accelera verso l’alto con a=3{,}0\ \text{m/s}^2. Quale pressione sul fondo a profondità h=0{,}50\ \text{m}?
La gravità apparente verticale è g_\text{app}=g+a=12{,}8\ \text{m/s}^2:
p=\rho g_\text{app}h=1000\times12{,}8\times0{,}50=6400\ \text{Pa}.
Maggiore del caso statico (\rho gh=4900\ \text{Pa}): il fluido “pesa di più”.
6. Recipiente in caduta libera
Esercizio. Lo stesso recipiente è ora in caduta libera. Quale pressione sul fondo?
In caduta libera g_\text{app}=g-g=0:
p=\rho g_\text{app}h=0.
In assenza di peso apparente il fluido non esercita pressione idrostatica: una bolla d’aria immersa, ad esempio, non riceverebbe più spinta.
7. Quota del paraboloide (recipiente rotante)
Esercizio. Un cilindro d’acqua ruota attorno al proprio asse a \omega=6{,}0\ \text{rad/s}. Di quanto si alza il pelo libero al bordo (r=0{,}20\ \text{m}) rispetto al centro?
La superficie è un paraboloide z(r)=\omega^2 r^2/(2g):
Il livello sale al bordo e cala al centro (l’inerzia spinge il fluido verso l’esterno).
8. Velocità di rotazione per scoprire il fondo
Esercizio. Per quale velocità angolare \omega il paraboloide del cilindro precedente (r=0{,}20\ \text{m}) abbassa il centro fino a scoprire il fondo, se il livello a riposo è h_0=10\ \text{cm}?
Il paraboloide è simmetrico rispetto al livello a riposo: sale di \Delta z/2 al bordo e scende di \Delta z/2 al centro. Il centro tocca il fondo quando \Delta z/2=h_0, cioè \Delta z=0{,}20\ \text{m}:
\omega=\sqrt{\dfrac{2g\,\Delta z}{r^2}}=\sqrt{\dfrac{2\times9{,}8\times0{,}20}{0{,}20^2}}=\sqrt{98}=9{,}90\ \text{rad/s}.
9. Pressione al bordo del fondo di un cilindro rotante
Esercizio. Nel cilindro rotante (\omega=6{,}0\ \text{rad/s}, r=0{,}20\ \text{m}), il livello al bordo è h_\text{bordo}=0{,}137\ \text{m}. Quale pressione relativa sul fondo, al bordo?
Lungo la verticale al bordo vale ancora Stevin con g (la pressione idrostatica è data dal battente locale):
p=\rho g\,h_\text{bordo}=1000\times9{,}8\times0{,}137=1343\ \text{Pa}\approx1{,}3\times10^3\ \text{Pa}.
La pressione massima sul fondo è al bordo, dove il battente è più alto.
10. Combinazione: accelerazione orizzontale e verticale
Esercizio. Un recipiente accelera con a_x=4{,}0\ \text{m/s}^2 orizzontale e a_z=2{,}0\ \text{m/s}^2 verso l’alto. Di quale angolo si inclina la superficie?
La gravità apparente verticale diventa g+a_z, quindi la superficie si inclina secondo:
\tan\theta=\dfrac{a_x}{g+a_z}=\dfrac{4{,}0}{9{,}8+2{,}0}=\dfrac{4{,}0}{11{,}8}=0{,}339\ \Rightarrow\ \theta=18{,}7°.
L’accelerazione verticale verso l’alto “irrigidisce” la gravità apparente e riduce l’inclinazione rispetto al solo a_x.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Superficie (accelerazione orizzontale) | \tan\theta=a/g |
| Dislivello | \Delta h=L\tan\theta |
| Gravità apparente verticale | g_\text{app}=g\pm a |
| Caduta libera | g_\text{app}=0\Rightarrow p=0 |
| Paraboloide rotante | z(r)=\omega^2 r^2/(2g) |
| Combinazione a_x,a_z | \tan\theta=a_x/(g+a_z) |
Errori da evitare:
- credere che l’accelerazione orizzontale cambi la pressione lungo la verticale (cambia solo l’inclinazione della superficie; lungo z vale ancora Stevin con g);
- dimenticare che in ascensore o in caduta la pressione idrostatica usa g_\text{app}=g\pm a;
- confondere il dislivello totale del paraboloide (\omega^2 r^2/2g) con la sola salita al bordo (metà rispetto al livello a riposo);
- nella combinazione di accelerazioni, usare g al denominatore invece di g+a_z.