Uno scambiatore di calore trasferisce calore tra due fluidi a temperatura diversa senza mescolarli. Il bilancio energetico per ciascun fluido è \dot{Q}=\dot{m}\,c\,\Delta T. Il calore scambiato attraverso la superficie è
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_\text{ml},
dove U è il coefficiente globale di scambio, A l’area, e \Delta T_\text{ml} la differenza di temperatura media logaritmica (LMTD):
\Delta T_\text{ml}=\dfrac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)}.
In configurazione equicorrente i fluidi scorrono nello stesso verso, in controcorrente in versi opposti (più efficiente). Il metodo efficienza-NTU si usa quando le temperature di uscita non sono note.
1. Bilancio termico tra i due fluidi
Esercizio. Un fluido caldo (\dot{m}_c=2{,}0\ \text{kg/s}, c_c=4200\ \text{J/(kg·K)}) si raffredda da 80\ °C a 50\ °C. Quanto calore cede?
\dot{Q}=\dot{m}_c c_c\,\Delta T_c=2{,}0\times4200\times(80-50)=2{,}0\times4200\times30=2{,}52\times10^5\ \text{W}=252\ \text{kW}.
2. Temperatura di uscita del fluido freddo
Esercizio. Il calore precedente (\dot{Q}=252\ \text{kW}) scalda un fluido freddo (\dot{m}_f=3{,}0\ \text{kg/s}, c_f=4200\ \text{J/(kg·K)}) che entra a 20\ °C. Temperatura di uscita?
Da \dot{Q}=\dot{m}_f c_f(T_\text{out}-T_\text{in}):
T_\text{out}=T_\text{in}+\dfrac{\dot{Q}}{\dot{m}_f c_f}=20+\dfrac{2{,}52\times10^5}{3{,}0\times4200}=20+20=40\ °C.
3. LMTD in controcorrente
Esercizio. In uno scambiatore controcorrente, il caldo va da 80 a 50\ °C, il freddo da 20 a 40\ °C. Calcolare la LMTD.
Passo 1 — differenze di temperatura agli estremi (controcorrente: caldo-in con freddo-out, caldo-out con freddo-in):
\Delta T_1=80-40=40\ \text{K},\qquad\Delta T_2=50-20=30\ \text{K}.
Passo 2 — media logaritmica.
4. Area di scambio necessaria
Esercizio. Per scambiare \dot{Q}=252\ \text{kW} con U=500\ \text{W/(m}^2\text{K}) e \Delta T_\text{ml}=34{,}8\ \text{K}, quale area serve?
Da \dot{Q}=UA\Delta T_\text{ml}:
A=\dfrac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_\text{ml}}=\dfrac{2{,}52\times10^5}{500\times34{,}8}=\dfrac{2{,}52\times10^5}{17\,400}=14{,}5\ \text{m}^2.
5. LMTD in equicorrente
Esercizio. Per gli stessi fluidi (caldo 80\to50, freddo 20\to40) ma in equicorrente, calcolare la LMTD.
Passo 1 — differenze agli estremi (equicorrente: entrambi-in insieme, entrambi-out insieme):
\Delta T_1=80-20=60\ \text{K},\qquad\Delta T_2=50-40=10\ \text{K}.
Passo 2 — media logaritmica.
\Delta T_\text{ml}=\dfrac{60-10}{\ln(60/10)}=\dfrac{50}{\ln6}=\dfrac{50}{1{,}792}=27{,}9\ \text{K}.
La LMTD equicorrente (27{,}9\ \text{K}) è minore della controcorrente (34{,}8\ \text{K}): a parità di U e A, l’equicorrente scambia meno calore.
6. Controcorrente vs equicorrente
Esercizio. Perché lo scambiatore controcorrente è più efficiente?
In controcorrente la differenza di temperatura è più uniforme lungo lo scambiatore, dando una LMTD maggiore (esercizio 3 vs 5: 34{,}8 vs 27{,}9\ \text{K}). Inoltre il fluido freddo può uscire più caldo della temperatura di uscita del caldo, cosa impossibile in equicorrente. A parità di superficie, la controcorrente trasferisce più calore: è la configurazione preferita.
7. Capacità termica oraria
La capacità termica oraria è C=\dot{m}\,c (W/K). Il fluido con C minore subisce il salto di temperatura maggiore.
Esercizio. Calcolare C per i due fluidi: caldo (\dot{m}_c=2{,}0, c_c=4200) e freddo (\dot{m}_f=3{,}0, c_f=4200).
C_c=\dot{m}_c c_c=2{,}0\times4200=8400\ \text{W/K},\qquad C_f=\dot{m}_f c_f=3{,}0\times4200=12\,600\ \text{W/K}.
Il caldo ha C minore (C_\text{min}=8400), quindi subisce il \Delta T maggiore (30\ \text{K} vs 20\ \text{K}): coerente.
8. Efficienza dello scambiatore
L’efficienza è il rapporto tra calore scambiato reale e massimo possibile: \varepsilon=\dfrac{\dot{Q}}{\dot{Q}_\text{max}}, con \dot{Q}_\text{max}=C_\text{min}(T_{c,\text{in}}-T_{f,\text{in}}).
Esercizio. Per i fluidi precedenti (\dot{Q}=252\ \text{kW}, C_\text{min}=8400\ \text{W/K}, caldo-in 80\ °C, freddo-in 20\ °C), calcolare l’efficienza.
Passo 1 — calore massimo possibile.
\dot{Q}_\text{max}=C_\text{min}(T_{c,\text{in}}-T_{f,\text{in}})=8400\times(80-20)=8400\times60=5{,}04\times10^5\ \text{W}.
Passo 2 — efficienza.
\varepsilon=\dfrac{\dot{Q}}{\dot{Q}_\text{max}}=\dfrac{2{,}52\times10^5}{5{,}04\times10^5}=0{,}50=50\%.
9. Numero di unità di trasferimento (NTU)
Il NTU caratterizza la “dimensione termica” dello scambiatore: \text{NTU}=\dfrac{UA}{C_\text{min}}.
Esercizio. Calcolare il NTU per U=500\ \text{W/(m}^2\text{K}), A=14{,}5\ \text{m}^2, C_\text{min}=8400\ \text{W/K}.
\text{NTU}=\dfrac{UA}{C_\text{min}}=\dfrac{500\times14{,}5}{8400}=\dfrac{7250}{8400}=0{,}863.
Un NTU maggiore corrisponde a uno scambiatore più “efficace” (efficienza più alta, a parità di rapporto delle capacità).
10. Condensatore (un fluido a temperatura costante)
Esercizio. In un condensatore il vapore condensa a T=100\ °C costante, mentre l’acqua di raffreddamento va da 20 a 60\ °C. Calcolare la LMTD.
Passo 1 — differenze agli estremi (il caldo resta a 100\ °C):
\Delta T_1=100-20=80\ \text{K},\qquad\Delta T_2=100-60=40\ \text{K}.
Passo 2 — LMTD.
\Delta T_\text{ml}=\dfrac{80-40}{\ln(80/40)}=\dfrac{40}{\ln2}=\dfrac{40}{0{,}693}=57{,}7\ \text{K}.
Quando un fluido cambia fase (temperatura costante), equicorrente e controcorrente danno la stessa LMTD.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Bilancio fluido | \dot{Q}=\dot{m}c\Delta T |
| Scambio superficie | \dot{Q}=UA\Delta T_\text{ml} |
| LMTD | (\Delta T_1-\Delta T_2)/\ln(\Delta T_1/\Delta T_2) |
| Efficienza | \varepsilon=\dot{Q}/\dot{Q}_\text{max} |
| NTU | UA/C_\text{min} |
Controcorrente più efficiente (LMTD maggiore). C_\text{min}=\min(\dot{m}_c c_c,\dot{m}_f c_f).
Errori da evitare:
- calcolare le \Delta T agli estremi sbagliati tra equicorrente e controcorrente;
- usare la media aritmetica invece di quella logaritmica per \Delta T_\text{ml};
- usare C_\text{max} invece di C_\text{min} nel calore massimo e nel NTU.