In un circuito RLC serie la risonanza si ha quando le reattanze si annullano (X_L=X_C), alla frequenza
f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Alla risonanza l’impedenza è minima (Z=R) e la corrente è massima. Il fattore di qualità Q=\dfrac{\omega_0 L}{R} misura la selettività. La potenza in AC si distingue in:
- potenza attiva P=V_\text{eff}I_\text{eff}\cos\varphi (dissipata, W);
- potenza reattiva Q_r=V_\text{eff}I_\text{eff}\sin\varphi (scambiata, var);
- potenza apparente S=V_\text{eff}I_\text{eff} (VA).
Il fattore di potenza è \cos\varphi=P/S.
1. Frequenza di risonanza
Esercizio. Un circuito RLC ha L=5{,}0\ \text{mH} e C=2{,}0\ \mu\text{F}. Calcolare la frequenza di risonanza.
2. Impedenza alla risonanza
Esercizio. Per il circuito precedente con R=20\ \Omega, quale impedenza alla risonanza?
Alla risonanza X_L=X_C, quindi la reattanza netta è nulla:
Z=\sqrt{R^2+0}=R=20\ \Omega.
L’impedenza è minima (solo resistiva) e la corrente è massima.
3. Corrente massima alla risonanza
Esercizio. Il circuito (Z=R=20\ \Omega) è alimentato a V_\text{eff}=100\ \text{V}. Corrente alla risonanza?
I_\text{eff}=\dfrac{V_\text{eff}}{R}=\dfrac{100}{20}=5{,}0\ \text{A}.
4. Fattore di qualità
Esercizio. Calcolare il fattore di qualità del circuito (L=5{,}0\ \text{mH}, R=20\ \Omega, f_0=1592\ \text{Hz}).
Passo 1 — pulsazione di risonanza. \omega_0=2\pi f_0=2\pi\times1592=10\,000\ \text{rad/s}.
Passo 2 — fattore Q.
Q=\dfrac{\omega_0 L}{R}=\dfrac{10\,000\times5{,}0\times10^{-3}}{20}=\dfrac{50}{20}=2{,}5.
Q alto = risonanza selettiva (banda stretta), usato nei sintonizzatori.
5. Larghezza di banda
Esercizio. La larghezza di banda è \Delta f=f_0/Q. Calcolarla per il circuito precedente.
\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}=\dfrac{1592}{2{,}5}=637\ \text{Hz}.
Solo le frequenze entro questa banda attorno a f_0 passano efficacemente.
6. Potenza attiva
Esercizio. Un circuito assorbe I_\text{eff}=4{,}0\ \text{A} a V_\text{eff}=230\ \text{V} con sfasamento \varphi=30°. Calcolare la potenza attiva.
P=V_\text{eff}I_\text{eff}\cos\varphi=230\times4{,}0\times\cos30°=230\times4{,}0\times0{,}866=797\ \text{W}.
7. Potenza apparente e reattiva
Esercizio. Per lo stesso circuito, calcolare potenza apparente e reattiva.
Passo 1 — potenza apparente.
S=V_\text{eff}I_\text{eff}=230\times4{,}0=920\ \text{VA}.
Passo 2 — potenza reattiva.
Q_r=V_\text{eff}I_\text{eff}\sin\varphi=920\times\sin30°=920\times0{,}50=460\ \text{var}.
(Verifica: S^2=P^2+Q_r^2: 797^2+460^2=635\,209+211\,600=846\,809; \sqrt{846\,809}=920.) ✓
8. Fattore di potenza
Esercizio. Calcolare il fattore di potenza del circuito precedente.
\cos\varphi=\dfrac{P}{S}=\dfrac{797}{920}=0{,}866.
(Coincide con \cos30°=0{,}866.) Un fattore di potenza vicino a 1 significa che quasi tutta la potenza apparente è utile (attiva).
9. Potenza alla risonanza
Esercizio. Quale fattore di potenza ha un circuito RLC alla risonanza?
Alla risonanza \varphi=0 (tensione e corrente in fase), quindi:
\cos\varphi=\cos0=1.
Il fattore di potenza è massimo (=1): tutta la potenza è attiva, la potenza reattiva è nulla. È la condizione ottimale di trasferimento di potenza.
10. Rifasamento (correzione del fattore di potenza)
Esercizio. Un carico induttivo ha fattore di potenza \cos\varphi=0{,}70. Perché si aggiunge un condensatore in parallelo per “rifasare”?
Un carico induttivo (motori) ha corrente in ritardo, fattore di potenza basso e alta potenza reattiva: ciò aumenta la corrente di linea (più perdite). Aggiungendo un condensatore in parallelo si fornisce potenza reattiva capacitiva che compensa quella induttiva, avvicinando \cos\varphi a 1. Si riduce la corrente assorbita a parità di potenza attiva, diminuendo perdite e costi: è il rifasamento industriale.
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Frequenza risonanza | f_0=1/(2\pi\sqrt{LC}) |
| Fattore di qualità | Q=\omega_0 L/R |
| Potenza attiva | P=V_\text{eff}I_\text{eff}\cos\varphi |
| Potenza apparente | S=V_\text{eff}I_\text{eff} |
| Potenza reattiva | Q_r=V_\text{eff}I_\text{eff}\sin\varphi |
| Fattore di potenza | \cos\varphi=P/S |
Alla risonanza: Z=R, I massima, \cos\varphi=1. Triangolo delle potenze: S^2=P^2+Q_r^2.
Errori da evitare:
- dimenticare il \cos\varphi nella potenza attiva (in AC P\neq VI in generale);
- confondere potenza attiva (dissipata, W), reattiva (scambiata, var) e apparente (VA);
- credere che la potenza reattiva sia “persa” (è scambiata, ma carica la linea inutilmente).