Numero di Reynolds e legge di Poiseuille: esercizi svolti

Il numero di Reynolds è un rapporto adimensionale tra forze d’inerzia e forze viscose che governa il regime di moto:

$Re=\dfrac{\rho v D}{\mu}=\dfrac{vD}{\nu}.$

In un condotto cilindrico si ha regime laminare per $Re\lesssim2300$ , di transizione fino a $\sim4000$ , turbolento oltre. Nel regime laminare vale la legge di Hagen-Poiseuille, che lega portata e caduta di pressione:

$Q=\dfrac{\pi r^4\,\Delta p}{8\mu L}.$

Il profilo di velocità è parabolico, con velocità sull’asse doppia della media.

1. Numero di Reynolds in un tubo

Esercizio. Acqua ( $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ , $\mu=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ ) scorre a $v=1{,}5\ \text{m/s}$ in un tubo $D=2{,}5\ \text{cm}$ . Laminare o turbolento?

\begin{aligned} Re &=\dfrac{\rho v D}{\mu}\\ &=\dfrac{1000\times1{,}5\times0{,}025}{1{,}0\times10^{-3}}\\ &=37\,500. \end{aligned}

Essendo $Re\gg4000$ , il flusso è turbolento.

2. Reynolds con viscosità cinematica

Esercizio. Olio ( $\nu=2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2/\text{s}$ ) scorre a $v=0{,}50\ \text{m/s}$ in un tubo $D=3{,}0\ \text{cm}$ . Quale regime?

Usando $Re=vD/\nu$ :

\begin{aligned} Re &=\dfrac{0{,}50\times0{,}030}{2{,}0\times10^{-4}}\\ &=\dfrac{0{,}015}{2{,}0\times10^{-4}}\\ &=75. \end{aligned}

$Re=75\ll2300$ : regime laminare (gli oli viscosi restano laminari anche a velocità apprezzabili).

3. Velocità critica di transizione

Esercizio. Per il tubo dell’esercizio 1 ( $D=2{,}5\ \text{cm}$ , acqua), a quale velocità si raggiunge la soglia di transizione ( $Re=2300$ )?

Invertendo $Re=\rho vD/\mu$ :

\begin{aligned} v &=\dfrac{Re\,\mu}{\rho D}\\ &=\dfrac{2300\times1{,}0\times10^{-3}}{1000\times0{,}025}\\ &=0{,}092\ \text{m/s}. \end{aligned}

Sopra circa $9\ \text{cm/s}$ il flusso d’acqua in questo tubo non è più sicuramente laminare.

4. Diametro critico

Esercizio. A quale diametro massimo l’acqua ( $\mu=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ ) a $v=0{,}20\ \text{m/s}$ resta laminare ( $Re=2300$ )?

\begin{aligned} D &=\dfrac{Re\,\mu}{\rho v}\\ &=\dfrac{2300\times1{,}0\times10^{-3}}{1000\times0{,}20}\\ &=0{,}0115\ \text{m}\\ &\approx1{,}2\ \text{cm}. \end{aligned}

Sopra questo diametro, a parità di velocità, il moto transita verso il turbolento.

5. Legge di Hagen-Poiseuille — portata

Esercizio. Un tubo capillare laminare ( $r=1{,}0\ \text{mm}$ , $L=0{,}50\ \text{m}$ ) ha una caduta di pressione $\Delta p=8{,}0\times10^3\ \text{Pa}$ con acqua ( $\mu=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ ). Quale portata?

\begin{aligned} Q &=\dfrac{\pi r^4\,\Delta p}{8\mu L}\\ &=\dfrac{\pi\times(1{,}0\times10^{-3})^4\times8{,}0\times10^3} {8\times1{,}0\times10^{-3}\times0{,}50}\\ &=\dfrac{2{,}513\times10^{-8}}{4{,}0\times10^{-3}}\\ &=6{,}28\times10^{-6}\ \text{m}^3/\text{s}. \end{aligned}

Circa $6{,}3\ \text{mL/s}$ .

6. Dipendenza dal raggio (r⁴)

Esercizio. Se nel tubo precedente il raggio si dimezza ( $r=0{,}50\ \text{mm}$ ), a parità di $\Delta p$ e $L$ , come cambia la portata?

La portata va con $r^4$ , quindi dimezzando $r$ si riduce di $2^4=16$ volte:

\begin{aligned} Q' &=\dfrac{Q}{16}\\ &=\dfrac{6{,}28\times10^{-6}}{16}\\ &=3{,}93\times10^{-7}\ \text{m}^3/\text{s}\\ &\approx0{,}39\ \text{mL/s}. \end{aligned}

Questa fortissima dipendenza spiega perché piccole occlusioni in un condotto (o in un vaso sanguigno) riducano drasticamente il flusso.

7. Caduta di pressione da Poiseuille

Esercizio. In un tubo laminare ( $r=2{,}0\ \text{mm}$ , $L=10\ \text{m}$ ) scorre olio ( $\mu=0{,}10\ \text{Pa·s}$ ) con portata $Q=5{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^3/\text{s}$ . Quale caduta di pressione?

Invertendo Poiseuille, $\Delta p=8\mu L Q/(\pi r^4)$ :

\begin{aligned} \Delta p &=\dfrac{8\times0{,}10\times10\times5{,}0\times10^{-6}} {\pi\times(2{,}0\times10^{-3})^4}\\ &=\dfrac{4{,}0\times10^{-5}}{5{,}027\times10^{-11}}\\ &=7{,}96\times10^5\ \text{Pa}\\ &\approx8{,}0\times10^5\ \text{Pa}. \end{aligned}

8. Profilo parabolico — velocità media e massima

Esercizio. Nel tubo dell’esercizio 5 ( $r=1{,}0\ \text{mm}$ , $Q=6{,}28\times10^{-6}\ \text{m}^3/\text{s}$ ), quale velocità media e quale velocità massima sull’asse?

Passo 1 — velocità media ( $A=\pi r^2=3{,}14\times10^{-6}\ \text{m}^2$ ):

\begin{aligned} \bar v &=\dfrac{Q}{A}\\ &=\dfrac{6{,}28\times10^{-6}}{3{,}14\times10^{-6}}\\ &=2{,}0\ \text{m/s}. \end{aligned}

Passo 2 — velocità massima. Nel profilo parabolico la velocità sull’asse è il doppio della media:

$v_\text{max}=2\bar v=4{,}0\ \text{m/s}.$

9. Verifica del regime laminare a posteriori

Esercizio. In un tubo ( $r=2{,}0\ \text{mm}$ ) scorre olio ( $\mu=0{,}10\ \text{Pa·s}$ , $\rho=900\ \text{kg/m}^3$ ) con $Q=5{,}0\times10^{-6}\ \text{m}^3/\text{s}$ . Poiseuille è applicabile?

Passo 1 — velocità media. $A=\pi r^2=1{,}257\times10^{-5}\ \text{m}^2$ , $\bar v=Q/A=0{,}398\ \text{m/s}$ .

Passo 2 — Reynolds ( $D=4{,}0\times10^{-3}\ \text{m}$ ):

\begin{aligned} Re &=\dfrac{\rho\bar v D}{\mu}\\ &=\dfrac{900\times0{,}398\times4{,}0\times10^{-3}}{0{,}10}\\ &=14{,}3. \end{aligned}

$Re\approx14\ll2300$ : pienamente laminare, Poiseuille è applicabile. ✓

10. Portata da Poiseuille e numero di Reynolds combinati

Esercizio. Acqua ( $\mu=1{,}0\times10^{-3}\ \text{Pa·s}$ , $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ ) scorre in un capillare ( $r=0{,}50\ \text{mm}$ , $L=0{,}20\ \text{m}$ ) con $\Delta p=500\ \text{Pa}$ . Calcolare portata e verificare il regime.

Passo 1 — portata (Poiseuille).

\begin{aligned} Q &=\dfrac{\pi r^4\Delta p}{8\mu L}\\ &=\dfrac{\pi\times(0{,}50\times10^{-3})^4\times500} {8\times1{,}0\times10^{-3}\times0{,}20}\\ &=\dfrac{\pi\times6{,}25\times10^{-14}\times500} {1{,}6\times10^{-3}}\\ &=6{,}14\times10^{-8}\ \text{m}^3/\text{s}. \end{aligned}

Passo 2 — velocità media. $A=\pi r^2=7{,}85\times10^{-7}\ \text{m}^2$ , $\bar v=Q/A=0{,}0782\ \text{m/s}$ .

Passo 3 — Reynolds ( $D=1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}$ ):

$Re=\dfrac{1000\times0{,}0782\times1{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-3}}=78.$

$Re=78\ll2300$ : laminare, il calcolo di Poiseuille è coerente. ✓

Sintesi

Concetto	Formula
Numero di Reynolds	$Re=\rho vD/\mu=vD/\nu$
Regime	laminare $Re\lesssim2300$ , turbolento $Re\gtrsim4000$
Velocità critica	$v=Re\,\mu/(\rho D)$
Hagen-Poiseuille	$Q=\pi r^4\Delta p/(8\mu L)$
Caduta di pressione	$\Delta p=8\mu L Q/(\pi r^4)$
Velocità massima (parabolico)	$v_\text{max}=2\bar v$

Errori da evitare:

applicare Poiseuille a flussi turbolenti (vale solo per regime laminare, $Re\lesssim2300$ );
usare il raggio al posto del diametro (o viceversa) nel numero di Reynolds: $Re$ usa $D$ , Poiseuille usa $r$ ;
confondere velocità media e massima nel profilo parabolico ( $v_\text{max}=2\bar v$ );
dimenticare la fortissima dipendenza da $r^4$ della portata;
dare per scontato il regime: verificarlo sempre a posteriori calcolando $Re$ .