I teoremi delle reti semplificano circuiti complessi visti da due morsetti. Il teorema di Thévenin sostituisce qualsiasi rete lineare con un generatore di tensione V_\text{Th} in serie a una resistenza R_\text{Th}. Il teorema di Norton usa invece un generatore di corrente I_N in parallelo a R_N. Le due rappresentazioni sono equivalenti:
R_\text{Th}=R_N,\qquad V_\text{Th}=I_N\,R_N.
V_\text{Th} è la tensione a vuoto ai morsetti; R_\text{Th} è la resistenza vista dai morsetti spegnendo i generatori (tensione → corto, corrente → aperto); I_N è la corrente di cortocircuito.
1. Tensione di Thévenin (tensione a vuoto)
Esercizio. Una batteria \varepsilon=12\ \text{V} in serie a R_1=4{,}0\ \Omega alimenta un partitore con R_2=8{,}0\ \Omega. La tensione a vuoto ai capi di R_2 è V_\text{Th}?
La tensione a vuoto è quella del partitore (nessun carico):
V_\text{Th}=\varepsilon\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=12\times\dfrac{8{,}0}{4{,}0+8{,}0}=12\times\dfrac{8{,}0}{12}=8{,}0\ \text{V}.
2. Resistenza di Thévenin
Esercizio. Per il circuito precedente, calcolare R_\text{Th} vista dai morsetti di R_2.
Passo 1 — spegnere il generatore. La batteria diventa un cortocircuito.
Passo 2 — resistenza vista dai morsetti. R_1 e R_2 risultano in parallelo:
R_\text{Th}=\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2}=\dfrac{4{,}0\times8{,}0}{4{,}0+8{,}0}=\dfrac{32}{12}=2{,}67\ \Omega.
3. Corrente su un carico (equivalente di Thévenin)
Esercizio. Si collega un carico R_L=5{,}0\ \Omega ai morsetti dell’equivalente (V_\text{Th}=8{,}0\ \text{V}, R_\text{Th}=2{,}67\ \Omega). Quale corrente nel carico?
I_L=\dfrac{V_\text{Th}}{R_\text{Th}+R_L}=\dfrac{8{,}0}{2{,}67+5{,}0}=\dfrac{8{,}0}{7{,}67}=1{,}04\ \text{A}.
L’equivalente di Thévenin rende immediato calcolare la corrente per qualsiasi carico.
4. Corrente di Norton (cortocircuito)
Esercizio. Calcolare la corrente di Norton dell’equivalente precedente.
La corrente di Norton è quella di cortocircuito (R_L=0):
I_N=\dfrac{V_\text{Th}}{R_\text{Th}}=\dfrac{8{,}0}{2{,}67}=3{,}0\ \text{A}.
5. Equivalenza Thévenin-Norton
Esercizio. Verificare che V_\text{Th}=I_N R_N con I_N=3{,}0\ \text{A}, R_N=R_\text{Th}=2{,}67\ \Omega.
V_\text{Th}=I_N R_N=3{,}0\times2{,}67=8{,}0\ \text{V}. ✓
Le due rappresentazioni descrivono lo stesso comportamento ai morsetti.
6. Principio di sovrapposizione
Esercizio. Un circuito ha due batterie. La prima da sola produce I_1=2{,}0\ \text{A} in un ramo, la seconda da sola I_2=-0{,}50\ \text{A} (verso opposto). Quale corrente totale per sovrapposizione?
Per circuiti lineari, la corrente totale è la somma algebrica dei contributi:
I=I_1+I_2=2{,}0+(-0{,}50)=1{,}5\ \text{A}.
Si calcola un generatore alla volta (spegnendo gli altri) e si sommano gli effetti.
7. Massimo trasferimento di potenza
La potenza al carico è massima quando R_L=R_\text{Th}.
Esercizio. Per quale resistenza di carico l’equivalente (V_\text{Th}=8{,}0\ \text{V}, R_\text{Th}=2{,}67\ \Omega) trasferisce la massima potenza?
La condizione di massimo trasferimento è l’adattamento:
R_L=R_\text{Th}=2{,}67\ \Omega.
8. Potenza massima trasferita
Esercizio. Calcolare la potenza massima trasferibile al carico nell’esercizio precedente.
Con R_L=R_\text{Th}, la potenza massima è P_\text{max}=\dfrac{V_\text{Th}^2}{4R_\text{Th}}:
P_\text{max}=\dfrac{8{,}0^2}{4\times2{,}67}=\dfrac{64}{10{,}68}=5{,}99\ \text{W}\approx6{,}0\ \text{W}.
9. Rendimento al massimo trasferimento
Esercizio. Qual è il rendimento (frazione di potenza utile sul totale) quando R_L=R_\text{Th}?
Quando R_L=R_\text{Th}, metà della potenza si dissipa internamente (R_\text{Th}) e metà nel carico:
\eta=\dfrac{P_L}{P_\text{tot}}=\dfrac{R_L}{R_L+R_\text{Th}}=\dfrac{1}{2}=50\%.
Il massimo trasferimento di potenza ha rendimento solo del 50\%: per l’efficienza (es. linee di potenza) si usa R_L\gg R_\text{Th}.
10. Norton da resistenze in parallelo
Esercizio. Un generatore di corrente I_N=4{,}0\ \text{A} in parallelo a R_N=3{,}0\ \Omega alimenta un carico R_L=6{,}0\ \Omega. Quale corrente nel carico (partitore di corrente)?
La corrente si divide tra R_N e R_L (in parallelo):
I_L=I_N\dfrac{R_N}{R_N+R_L}=4{,}0\times\dfrac{3{,}0}{3{,}0+6{,}0}=4{,}0\times\dfrac{3{,}0}{9{,}0}=1{,}33\ \text{A}.
11. Trasformazione Norton-Thévenin
Esercizio. Un ramo equivalente è formato da un generatore di corrente I_N=2{,}5\ \text{A} in parallelo a R_N=12\ \Omega. Scrivere l’equivalente di Thévenin.
La resistenza equivalente resta la stessa:
La tensione a vuoto equivalente è il prodotto tra corrente Norton e resistenza parallela:
L’equivalente di Thévenin è quindi un generatore da 30\ \text{V} in serie a 12\ \Omega. Il verso della tensione dipende dal verso scelto per la corrente di Norton: se la freccia del generatore di corrente viene invertita, cambia il segno di V_\text{Th}.
12. R_\text{Th} con sorgente dipendente
Esercizio. Una rete vista dai morsetti contiene solo una sorgente dipendente: applicando ai morsetti una tensione di prova V_p=10\ \text{V} entra una corrente I_p=0{,}40\ \text{A}. Calcolare R_\text{Th}.
Quando sono presenti sorgenti dipendenti non si possono “spegnere” come i generatori indipendenti: restano attive perché modellano una relazione interna del circuito. Si usa allora una sorgente di prova ai morsetti:
Il verso di I_p va dichiarato: qui la corrente entra nel morsetto positivo della tensione di prova, quindi la resistenza risulta positiva. Se il rapporto fosse negativo, la rete si comporterebbe localmente come una resistenza attiva, possibile solo perché contiene sorgenti controllate.
13. R_\text{Th} da tensione a vuoto e corrente di corto
Esercizio. Una rete lineare misurata ai morsetti fornisce V_\text{oc}=18\ \text{V} a vuoto e I_\text{sc}=3{,}0\ \text{A} in cortocircuito. Determinare equivalente di Thévenin e Norton.
Per una rete lineare a due morsetti:
Quindi:
e, nella forma di Norton:
Questo metodo è spesso il più robusto quando la rete interna è complicata: basta trovare, per calcolo o misura, tensione a vuoto e corrente di corto.
Sintesi
| Concetto | Procedura |
|---|---|
| V_\text{Th} | tensione a vuoto ai morsetti |
| R_\text{Th}=R_N | resistenza vista spegnendo i generatori |
| I_N | corrente di cortocircuito =V_\text{Th}/R_\text{Th} |
| Trasformazione Norton-Thévenin | V_\text{Th}=I_N R_N, R_\text{Th}=R_N |
| Sorgenti dipendenti | lasciare attive e usare una sorgente di prova |
| Misura ai morsetti | R_\text{Th}=V_\text{oc}/I_\text{sc} |
| Sovrapposizione | un generatore alla volta, poi somma |
| Max trasferimento | R_L=R_\text{Th}, P_\text{max}=V_\text{Th}^2/(4R_\text{Th}) |
Spegnere i generatori: tensione → corto, corrente → aperto.
Errori da evitare:
- spegnere male i generatori (tensione in corto, corrente in aperto);
- confondere V_\text{Th} (a vuoto) con la tensione sotto carico;
- spegnere anche le sorgenti dipendenti: vanno lasciate attive e trattate con sorgente di prova;
- credere che il massimo trasferimento di potenza abbia rendimento alto (è solo 50\%).