L’elettromagnetismo è intrinsecamente relativistico: i campi elettrico e magnetico non sono entità separate, ma componenti di un unico tensore elettromagnetico che si mescolano cambiando sistema di riferimento. Un campo puramente elettrico in un riferimento appare con una componente magnetica in un altro in moto.
Per un boost con velocità v lungo x (fattore \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}), le componenti trasversali si trasformano:
E_y'=\gamma(E_y-vB_z),\qquad B_z'=\gamma\left(B_z-\dfrac{v}{c^2}E_y\right).
Esistono invarianti uguali in ogni riferimento: E^2-c^2B^2 e \vec{E}\cdot\vec{B}.
1. Fattore di Lorentz
Esercizio. Calcolare il fattore \gamma per una velocità v=0{,}60c.
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}60^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}36}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}64}}=\dfrac{1}{0{,}80}=1{,}25.
2. Campo magnetico da un campo elettrico
Esercizio. In un riferimento c’è solo un campo elettrico E_y=3{,}0\times10^5\ \text{V/m} (nessun campo magnetico). In un riferimento che si muove a v=0{,}60c lungo x, quale campo magnetico appare?
Con B_z=0 nel riferimento originale, \gamma=1{,}25:
Calcolo:
B_z'=1{,}25\times(-6{,}0\times10^{-4})=-7{,}5\times10^{-4}\ \text{T}.
Un campo puramente elettrico genera un campo magnetico in un riferimento in moto: E e B sono aspetti dello stesso campo.
3. Trasformazione del campo elettrico
Esercizio. Per lo stesso caso (E_y=3{,}0\times10^5\ \text{V/m}, B_z=0, v=0{,}60c), calcolare E_y'.
E_y'=\gamma(E_y-vB_z)=1{,}25\times(3{,}0\times10^5-0)=1{,}25\times3{,}0\times10^5=3{,}75\times10^5\ \text{V/m}.
Il campo elettrico è intensificato dal fattore \gamma.
4. Invariante elettromagnetico
Esercizio. Verificare che E^2-c^2B^2 è invariante per il caso precedente.
Riferimento originale: E^2-c^2B^2=(3{,}0\times10^5)^2-0=9{,}0\times10^{10}.
Riferimento in moto:
I due valori coincidono (9{,}0\times10^{10}): l’invariante è confermato.
5. Campo puramente magnetico
Esercizio. Esiste un riferimento in cui un campo puramente magnetico diventa puramente elettrico?
Dipende dall’invariante E^2-c^2B^2. Per un campo puramente magnetico (E=0): E^2-c^2B^2=-c^2B^2<0. Poiché l’invariante è negativo in ogni riferimento, E'^2-c^2B'^2<0 sempre: il campo magnetico domina e non può mai diventare puramente elettrico. (Esisterà invece un riferimento in cui è puramente magnetico, dove l’eventuale componente E si annulla.)
6. Forza magnetica come effetto relativistico
Esercizio. Spiegare perché la forza magnetica tra correnti è una manifestazione relativistica della forza elettrica.
Nel riferimento di una carica in moto, ciò che appare come forza magnetica (dovuta a B) si rivela come forza elettrica dovuta alla contrazione delle lunghezze relativistica: le densità di carica dei fili si modificano nel cambio di riferimento, creando uno squilibrio di carica netta che genera la forza elettrica. La forza magnetica è quindi la stessa forza elettrica vista da un riferimento diverso: è la prova più diretta che magnetismo e relatività sono inseparabili.
7. Effetto Doppler relativistico
Esercizio. Una sorgente luminosa emette a f_0=5{,}0\times10^{14}\ \text{Hz} e si allontana a v=0{,}30c. Quale frequenza osservata? (formula f=f_0\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}, \beta=v/c).
Passo 1 — fattore. \beta=0{,}30; \dfrac{1-\beta}{1+\beta}=\dfrac{0{,}70}{1{,}30}=0{,}538; \sqrt{0{,}538}=0{,}734.
Passo 2 — frequenza osservata.
f=f_0\times0{,}734=5{,}0\times10^{14}\times0{,}734=3{,}67\times10^{14}\ \text{Hz}.
La frequenza diminuisce (redshift): la sorgente che si allontana appare più “rossa”.
8. Redshift cosmologico
Esercizio. Una galassia si allontana a v=0{,}10c. Di quale fattore si sposta la lunghezza d’onda osservata?
Per piccole velocità, \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}\approx\beta=v/c:
\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0}\approx0{,}10=10\%.
La lunghezza d’onda aumenta del 10\%: è il redshift usato per misurare le velocità di recessione delle galassie (legge di Hubble).
9. Aberrazione della luce
Esercizio. Perché la direzione apparente di una stella cambia col moto dell’osservatore?
Il moto dell’osservatore (es. la Terra attorno al Sole) modifica l’angolo di arrivo della luce per aberrazione relativistica: la direzione apparente si sposta verso la direzione del moto. È analogo all’inclinazione della pioggia vista da un’auto in corsa, ma con la composizione relativistica delle velocità. L’effetto fu osservato da Bradley nel 1725, anticipando concettualmente la relatività.
10. Velocità della luce invariante
Esercizio. Perché la velocità della luce è la stessa in tutti i riferimenti?
Le equazioni di Maxwell danno c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}, un valore fisso indipendente dal moto della sorgente o dell’osservatore. Questo è in conflitto con la composizione galileiana delle velocità: la soluzione, trovata da Einstein, è che c è un invariante fondamentale e che spazio e tempo si trasformano (relatività ristretta). L’elettromagnetismo di Maxwell è quindi già “relativisticamente corretto” senza modifiche.
11. Campo elettrico e magnetico perpendicolari con invariante nullo
Esercizio. Un campo ha E=3{,}0\times10^6\ \text{V/m} e B=1{,}0\times10^{-2}\ \text{T}, con \vec E\perp\vec B. Calcolare E^2-c^2B^2 e interpretare.
Calcoliamo:
Inoltre:
Quindi:
Poiché anche \vec E\cdot\vec B=0, il campo ha invarianti nulli: è della stessa classe di un’onda elettromagnetica piana nel vuoto, per cui E=cB ed \vec E\perp\vec B.
12. Esistenza di un riferimento con campo magnetico nullo
Esercizio. Se in un riferimento \vec E\perp\vec B e E>cB, esiste un riferimento in cui B'=0?
Sì. Quando
il campo è di tipo elettrico: esiste un riferimento in cui il campo magnetico si annulla e resta solo un campo elettrico.
Nel caso semplice con \vec E\perp\vec B, la velocità del riferimento che annulla B ha modulo
che è minore di c proprio perché E>cB.
Se invece E<cB, il campo è di tipo magnetico ed esiste un riferimento in cui si annulla E, non B.
13. Doppler relativistico in lunghezza d’onda
Esercizio. Una sorgente si allontana con \beta=0{,}30. Di quale fattore aumenta la lunghezza d’onda osservata?
Per allontanamento:
Con \beta=0{,}30:
La lunghezza d’onda osservata è il 36\% più grande di quella emessa. La formula approssimata \Delta\lambda/\lambda\simeq\beta darebbe 30\%: buona solo per velocità più piccole.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Fattore di Lorentz | \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} |
| Trasformazione E | E_y'=\gamma(E_y-vB_z) |
| Trasformazione B | B_z'=\gamma(B_z-vE_y/c^2) |
| Invarianti | E^2-c^2B^2, \vec{E}\cdot\vec{B} |
| Doppler relativistico | f=f_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)} |
| Doppler in lunghezza d’onda | \lambda/\lambda_0=\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)} |
E e B si mescolano cambiando riferimento; la forza magnetica è la forza elettrica vista da un altro riferimento.
Errori da evitare:
- trattare E e B come campi indipendenti dal riferimento (si trasformano l’uno nell’altro);
- dimenticare che gli invarianti hanno lo stesso valore in ogni riferimento;
- usare il Doppler classico per velocità relativistiche (serve la formula relativistica).
- dedurre il tipo di campo guardando solo E o solo B: servono gli invarianti;
- confondere redshift in frequenza e in lunghezza d’onda: se la frequenza diminuisce, la lunghezza d’onda aumenta.