In relatività, energia e quantità di moto di una particella di massa m a velocità v (\beta=v/c, \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}) sono:
E=\gamma mc^2,\qquad p=\gamma mv.
L’energia a riposo è E_0=mc^2; l’energia cinetica è K=E-E_0=(\gamma-1)mc^2. Vale la relazione fondamentale energia-impulso:
E^2=(pc)^2+(mc^2)^2.
Per particelle subatomiche si usa l’elettronvolt: 1\ \text{eV}=1{,}602\times10^{-19}\ \text{J}; l’energia a riposo dell’elettrone è 0{,}511\ \text{MeV}, quella del protone 938\ \text{MeV}.
1. Energia a riposo
Esercizio. Quale energia a riposo di un elettrone (m=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg})?
E_0=mc^2=9{,}11\times10^{-31}\times(3{,}0\times10^8)^2=8{,}20\times10^{-14}\ \text{J}=0{,}511\ \text{MeV}.
2. Energia totale a velocità data
Esercizio. Quale energia totale di un elettrone a v=0{,}80c (\gamma=1{,}67)?
E=\gamma mc^2=1{,}67\times0{,}511=0{,}853\ \text{MeV}.
3. Energia cinetica relativistica
Esercizio. Quale energia cinetica dell’elettrone precedente (\gamma=1{,}67, E_0=0{,}511\ \text{MeV})?
K=(\gamma-1)mc^2=(1{,}67-1)\times0{,}511=0{,}67\times0{,}511=0{,}342\ \text{MeV}.
La formula classica \dfrac{1}{2} mv^2 darebbe un valore diverso (e sbagliato) ad alta velocità.
4. Confronto classico-relativistico
Esercizio. Per un elettrone a v=0{,}10c (\gamma=1{,}00504), confrontare energia cinetica relativistica e classica.
Relativistica:
Classica:
A 0{,}10c le due coincidono entro l’1\%: la fisica classica è ottima a basse velocità.
5. Velocità da una data energia cinetica
Esercizio. Un elettrone è accelerato a K=2{,}0\ \text{MeV}. Quale fattore \gamma e quale velocità?
Passo 1 — fattore di Lorentz. \gamma=1+K/(mc^2)=1+2{,}0/0{,}511=1+3{,}91=4{,}91.
Passo 2 — velocità. \beta=\sqrt{1-1/\gamma^2}=\sqrt{1-1/24{,}1}=\sqrt{0{,}9585}=0{,}979, quindi v=0{,}979c.
6. Quantità di moto relativistica
Esercizio. Quale quantità di moto di un protone (E_0=938\ \text{MeV}) a v=0{,}90c (\gamma=2{,}29)?
p=\gamma mv=\gamma m c\,\beta\ \Rightarrow\ pc=\gamma\beta\,(mc^2)=2{,}29\times0{,}90\times938=1933\ \text{MeV}.
Quindi p=1933\ \text{MeV}/c (unità tipica della fisica delle particelle).
7. Relazione energia-impulso
Esercizio. Un protone ha energia totale E=1400\ \text{MeV} (E_0=938\ \text{MeV}). Quale quantità di moto?
Da E^2=(pc)^2+(mc^2)^2:
pc=\sqrt{E^2-(mc^2)^2}=\sqrt{1400^2-938^2}=\sqrt{1{,}96\times10^6-8{,}80\times10^5}=\sqrt{1{,}08\times10^6}=1039\ \text{MeV}.
p=1039\ \text{MeV}/c.
8. Particella senza massa (fotone)
Esercizio. Un fotone ha energia E=2{,}0\ \text{MeV}. Quale quantità di moto?
Per m=0 la relazione energia-impulso dà E=pc, quindi:
p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{2{,}0\ \text{MeV}}{c}=2{,}0\ \text{MeV}/c.
I fotoni hanno quantità di moto pur essendo privi di massa.
9. Difetto di massa ed energia di legame
Esercizio. Il nucleo di deuterio (^2\text{H}) ha massa m_d=2{,}01355\ \text{u}; protone m_p=1{,}00728\ \text{u}, neutrone m_n=1{,}00866\ \text{u} (1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}/c^2). Quale energia di legame?
Passo 1 — difetto di massa. \Delta m=(m_p+m_n)-m_d=(1{,}00728+1{,}00866)-2{,}01355=0{,}00239\ \text{u}.
Passo 2 — energia di legame (E=\Delta m\,c^2):
E_B=0{,}00239\times931{,}5=2{,}23\ \text{MeV}.
La massa del nucleo è minore della somma dei costituenti: la differenza è l’energia che li tiene legati.
10. Accelerazione di un elettrone tramite ddp
Esercizio. Un elettrone parte da fermo ed è accelerato attraverso una differenza di potenziale \Delta V=1{,}5\times10^6\ \text{V}. Quale energia cinetica acquista e quale velocità?
Passo 1 — energia cinetica (K=e\,\Delta V): l’elettrone acquista K=1{,}5\ \text{MeV} (per definizione, 1\ \text{eV} per volt).
Passo 2 — fattore di Lorentz. \gamma=1+K/(mc^2)=1+1{,}5/0{,}511=3{,}94.
Passo 3 — velocità. \beta=\sqrt{1-1/\gamma^2}=\sqrt{1-1/15{,}5}=\sqrt{0{,}9355}=0{,}967, quindi v=0{,}967c.
A queste energie l’elettrone è ultrarelativistico: la formula classica K=\dfrac{1}{2}mv^2 darebbe v>c, assurdo.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Energia a riposo | E_0=mc^2 |
| Energia totale | E=\gamma mc^2 |
| Energia cinetica | K=(\gamma-1)mc^2 |
| Quantità di moto | p=\gamma mv |
| Relazione energia-impulso | E^2=(pc)^2+(mc^2)^2 |
| Fotone (m=0) | E=pc |
| Energia di legame | E_B=\Delta m\,c^2 |
Errori da evitare:
- usare l’energia cinetica classica \dfrac{1}{2}mv^2 ad alte velocità (sottostima e può dare v>c);
- confondere energia totale E=\gamma mc^2 ed energia cinetica K=(\gamma-1)mc^2;
- dimenticare il termine (mc^2)^2 nella relazione energia-impulso (vale E=pc solo per m=0);
- trascurare il difetto di massa: la massa di un nucleo è minore della somma dei nucleoni;
- confondere unità: E in MeV, p in \text{MeV}/c, m in \text{MeV}/c^2.