La relatività ristretta si fonda sull’invarianza della velocità della luce c. Tutte le formule contengono il fattore di Lorentz:
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad \beta=\dfrac{v}{c}.
Un intervallo di tempo proprio \Delta t_0 (misurato dove l’evento è fermo) appare dilatato a \Delta t=\gamma\,\Delta t_0; una lunghezza propria L_0 (misurata a riposo) appare contratta a L=L_0/\gamma nella direzione del moto. Gli effetti diventano sensibili solo a velocità prossime a c.
1. Fattore di Lorentz
Esercizio. Quale fattore di Lorentz per un corpo a v=0{,}80c?
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}80^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}64}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}36}}=\dfrac{1}{0{,}60}=1{,}67.
A 0{,}80c tempi e lunghezze cambiano del 67\%.
2. Dilatazione dei tempi
Esercizio. Un orologio su una navicella a v=0{,}80c (\gamma=1{,}67) segna un intervallo proprio \Delta t_0=1{,}0\ \text{h}. Quanto misura un osservatore a terra?
\Delta t=\gamma\,\Delta t_0=1{,}67\times1{,}0=1{,}67\ \text{h}.
L’orologio in moto “rallenta”: a terra è passato più tempo.
3. Contrazione delle lunghezze
Esercizio. Un’astronave lunga L_0=120\ \text{m} (a riposo) viaggia a v=0{,}80c (\gamma=1{,}67). Quale lunghezza misura un osservatore a terra?
L=\dfrac{L_0}{\gamma}=\dfrac{120}{1{,}67}=71{,}9\ \text{m}.
La contrazione avviene solo lungo la direzione del moto (le dimensioni trasversali restano invariate).
4. Velocità da un fattore di contrazione
Esercizio. A quale velocità una sbarra appare lunga il 60\% della sua lunghezza propria?
\dfrac{L}{L_0}=\dfrac{1}{\gamma}=0{,}60\ \Rightarrow\ \gamma=1{,}667,\qquad \beta=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^2}}=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}80.
Quindi v=0{,}80c.
5. Distanza percorsa nei due riferimenti
Esercizio. Una navicella a v=0{,}60c (\gamma=1{,}25) viaggia per un tempo proprio di bordo \Delta t_0=5{,}0\ \text{anni}. Quale distanza percorre secondo la Terra?
Nel riferimento terrestre il tempo è dilatato, \Delta t=\gamma\Delta t_0=1{,}25\times5{,}0=6{,}25\ \text{anni}:
d=v\,\Delta t=0{,}60c\times6{,}25\ \text{anni}=0{,}60\times6{,}25=3{,}75\ \text{anni luce}.
Verifica dal punto di vista della navicella: la distanza terrestre d=3{,}75 a.l. appare contratta a d/\gamma=3{,}0 a.l., percorsa in 5{,}0 anni a 0{,}60c. I due riferimenti concordano. ✓
6. Paradosso dei gemelli
Esercizio. Un gemello parte a v=0{,}90c (\gamma=2{,}29) verso una stella e torna; per lui il viaggio dura \Delta t_0=10\ \text{anni}. Di quanto è invecchiato il gemello rimasto a Terra?
Il gemello viaggiatore misura il tempo proprio; a Terra il tempo è dilatato:
\Delta t=\gamma\,\Delta t_0=2{,}29\times10=22{,}9\ \text{anni}.
Al ritorno il gemello a Terra è invecchiato di 22{,}9 anni, quello in viaggio solo di 10: la differenza è reale (l’asimmetria viene dall’accelerazione in fase di inversione).
7. Decadimento dei muoni — vista dalla Terra
Esercizio. I muoni hanno vita media propria \tau_0=2{,}2\ \mu\text{s}. Creati nell’alta atmosfera, viaggiano a v=0{,}998c (\gamma=15{,}8). Quale vita media osservata da Terra, e quale distanza media percorsa?
Passo 1 — vita media dilatata. \tau=\gamma\tau_0=15{,}8\times2{,}2=34{,}8\ \mu\text{s}.
Passo 2 — distanza percorsa (d=v\tau):
d=0{,}998\times3{,}0\times10^8\times34{,}8\times10^{-6}=1{,}04\times10^4\ \text{m}\approx10{,}4\ \text{km}.
Senza dilatazione percorrerebbero solo \sim660\ \text{m}: la relatività spiega perché i muoni raggiungono il suolo.
8. Decadimento dei muoni — vista dal muone
Esercizio. Dal riferimento del muone (\gamma=15{,}8), quale spessore di atmosfera “vede” attraversare, se da Terra è h=10{,}4\ \text{km}?
Per il muone l’atmosfera è contratta:
h'=\dfrac{h}{\gamma}=\dfrac{10{,}4}{15{,}8}=0{,}658\ \text{km}\approx660\ \text{m}.
Questa distanza è percorsa in un tempo compatibile con la vita media propria \tau_0=2{,}2\ \mu\text{s}: i due riferimenti concordano sull’esito (il muone arriva al suolo).
9. Effetto Doppler relativistico — avvicinamento
Esercizio. Una sorgente luminosa si avvicina a v=0{,}50c emettendo \lambda_0=500\ \text{nm}. Quale lunghezza d’onda osservata?
In avvicinamento (blueshift) vale \lambda=\lambda_0\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}:
\lambda=500\sqrt{\dfrac{1-0{,}50}{1+0{,}50}}=500\sqrt{\dfrac{0{,}50}{1{,}50}}=500\sqrt{0{,}333}=500\times0{,}577=289\ \text{nm}.
La luce è spostata verso il blu (lunghezza d’onda minore).
10. Doppler relativistico — redshift cosmologico
Esercizio. Una galassia si allontana e la sua riga di emissione passa da \lambda_0=656\ \text{nm} a \lambda=700\ \text{nm}. Quale velocità di recessione?
In allontanamento \lambda=\lambda_0\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}. Posto R=(\lambda/\lambda_0)^2=(700/656)^2=1{,}138:
\beta=\dfrac{R-1}{R+1}=\dfrac{1{,}138-1}{1{,}138+1}=\dfrac{0{,}138}{2{,}138}=0{,}0645\ \Rightarrow\ v=0{,}065c\approx1{,}9\times10^7\ \text{m/s}.
Il redshift (spostamento verso il rosso) misura la velocità di allontanamento degli oggetti astronomici.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Fattore di Lorentz | \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} |
| Dilatazione dei tempi | \Delta t=\gamma\,\Delta t_0 |
| Contrazione lunghezze | L=L_0/\gamma |
| Doppler (avvicinamento) | \lambda=\lambda_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)} |
| Doppler (allontanamento) | \lambda=\lambda_0\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)} |
Errori da evitare:
- confondere tempo proprio e lunghezza propria: il tempo proprio è il più breve, la lunghezza propria la più lunga;
- applicare la contrazione alle dimensioni trasversali al moto (resta solo lungo la direzione del moto);
- dimenticare quale osservatore misura la grandezza propria (decide chi “vede” l’effetto);
- usare il Doppler acustico (asimmetrico sorgente/osservatore) invece di quello relativistico (dipende solo dalla velocità relativa);
- credere che il paradosso dei gemelli sia simmetrico: l’asimmetria nasce dall’accelerazione del viaggiatore.