Quantizzazione e buca di potenziale infinita: esercizi svolti

Una particella di massa $m$ confinata in una buca di potenziale infinita monodimensionale di larghezza $L$ può avere solo energie discrete (quantizzate):

$E_n=\dfrac{n^2 h^2}{8mL^2},\qquad n=1,2,3,\dots$

Il livello più basso ( $n=1$ ) ha energia non nulla, l’energia di punto zero: la particella non può mai essere completamente ferma (conseguenza dell’indeterminazione). Le transizioni tra livelli emettono o assorbono un fotone di energia $\Delta E=E_f-E_i=hf$ . La funzione d’onda è stazionaria con $n$ ventri, e vale la relazione $L=n\lambda/2$ (de Broglie nella buca).

1. Livello fondamentale di un elettrone

Esercizio. Un elettrone ( $m=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}$ ) è confinato in una buca di larghezza $L=0{,}10\ \text{nm}$ (dimensione atomica). Quale energia del livello fondamentale ( $n=1$ )?

\begin{aligned} E_1 &=\dfrac{h^2}{8mL^2}\\ &=\dfrac{(6{,}63\times10^{-34})^2} {8\times9{,}11\times10^{-31}\times(0{,}10\times10^{-9})^2}. \end{aligned}

\begin{aligned} E_1 &=\dfrac{4{,}40\times10^{-67}} {8\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}0\times10^{-20}}\\ &=\dfrac{4{,}40\times10^{-67}}{7{,}29\times10^{-50}}\\ &=6{,}03\times10^{-18}\ \text{J}\\ &=37{,}7\ \text{eV}. \end{aligned}

2. Livelli superiori

Esercizio. Per la stessa buca ( $E_1=37{,}7\ \text{eV}$ ), quali energie dei livelli $n=2$ e $n=3$ ?

Le energie vanno con $n^2$ ( $E_n=n^2 E_1$ ):

$E_2=4\times37{,}7=151\ \text{eV},\qquad E_3=9\times37{,}7=339\ \text{eV}.$

I livelli si allontanano sempre più (spaziatura crescente, non costante).

3. Energia di punto zero

Esercizio. Perché l’energia minima della buca non è zero? Calcolare il rapporto $E_2/E_1$ .

Il livello $n=0$ è proibito (darebbe funzione d’onda nulla ovunque): la minima energia è $E_1\ne0$ , l’energia di punto zero, conseguenza dell’indeterminazione (una particella confinata non può avere $p$ esattamente nullo).

$\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{2^2}{1^2}=4.$

4. Transizione e fotone emesso

Esercizio. Un elettrone nella buca ( $E_1=37{,}7\ \text{eV}$ ) passa da $n=3$ a $n=1$ . Quale energia del fotone emesso?

$\Delta E=E_3-E_1=(9-1)E_1=8\times37{,}7=302\ \text{eV}.$

5. Lunghezza d’onda del fotone emesso

Esercizio. Quale lunghezza d’onda del fotone della transizione precedente ( $\Delta E=302\ \text{eV}$ )?

Da $\lambda=hc/\Delta E$ , con $hc=1240\ \text{eV·nm}$ :

$\lambda=\dfrac{1240}{302}=4{,}11\ \text{nm}.$

Cade nell’ultravioletto/raggi X molli: le buche atomiche emettono fotoni molto energetici.

6. Transizione tra livelli adiacenti

Esercizio. Quale energia per la transizione $n=2\to n=1$ nella stessa buca ( $E_1=37{,}7\ \text{eV}$ )?

$\Delta E=E_2-E_1=(4-1)\times37{,}7=3\times37{,}7=113\ \text{eV}.$

7. Larghezza della buca da un’energia data

Esercizio. Quale larghezza deve avere una buca perché un elettrone abbia $E_1=1{,}0\ \text{eV}$ ?

Invertendo $E_1=h^2/(8mL^2)$ , con $E_1=1{,}0\times1{,}602\times10^{-19}\ \text{J}$ :

\begin{aligned} L &=\dfrac{h}{\sqrt{8mE_1}}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}} {\sqrt{8\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}602\times10^{-19}}}\\ &=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}}{1{,}08\times10^{-24}}\\ &=6{,}1\times10^{-10}\ \text{m}\\ &\approx0{,}61\ \text{nm}. \end{aligned}

8. de Broglie nella buca

Esercizio. Mostrare che il livello $n$ corrisponde a $L=n\lambda/2$ , e calcolare $\lambda$ per $n=2$ nella buca da $L=0{,}10\ \text{nm}$ .

La condizione di onda stazionaria nella buca è $L=n\lambda/2$ , cioè $\lambda_n=2L/n$ :

$\lambda_2=\dfrac{2\times0{,}10}{2}=0{,}10\ \text{nm}.$

Coerente con de Broglie: gli stati quantizzati sono onde stazionarie della funzione d’onda.

9. Protone in una buca nucleare

Esercizio. Un protone ( $m=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}$ ) è confinato in un nucleo, buca $L=5{,}0\ \text{fm}=5{,}0\times10^{-15}\ \text{m}$ . Quale energia del livello fondamentale?

\begin{aligned} E_1 &=\dfrac{h^2}{8mL^2}\\ &=\dfrac{(6{,}63\times10^{-34})^2} {8\times1{,}67\times10^{-27}\times(5{,}0\times10^{-15})^2}\\ &=\dfrac{4{,}40\times10^{-67}}{3{,}34\times10^{-55}}\\ &=1{,}32\times10^{-12}\ \text{J}\\ &=8{,}2\ \text{MeV}. \end{aligned}

Le energie nucleari sono nell’ordine dei MeV: spiega la scala energetica delle reazioni nucleari.

10. Confronto con un sistema macroscopico

Esercizio. Una pallina ( $m=1{,}0\ \text{g}$ ) in una scatola $L=10\ \text{cm}$ . Quale energia di punto zero? La quantizzazione è osservabile?

\begin{aligned} E_1 &=\dfrac{h^2}{8mL^2}\\ &=\dfrac{(6{,}63\times10^{-34})^2} {8\times1{,}0\times10^{-3}\times(0{,}10)^2}\\ &=\dfrac{4{,}40\times10^{-67}}{8{,}0\times10^{-5}}\\ &=5{,}5\times10^{-63}\ \text{J}. \end{aligned}

Energia inimmaginabilmente piccola ( $\sim10^{-63}\ \text{J}$ ): i livelli sono talmente fitti da apparire continui. La quantizzazione è irrilevante per i corpi macroscopici (limite classico).

11. Spaziatura tra livelli consecutivi

Esercizio. Per una buca con energia fondamentale $E_1$ , calcolare la differenza $E_{n+1}-E_n$ e applicarla al passaggio $n=4\to5$ .

Poiché

E_n=n^2E_1,

la spaziatura tra due livelli consecutivi è

E_{n+1}-E_n=[(n+1)^2-n^2]E_1.

Sviluppando:

(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1.

Quindi:

\Delta E_n=(2n+1)E_1.

Per il passaggio $n=4\to5$ :

\Delta E_4=(2\cdot4+1)E_1=9E_1.

La spaziatura cresce con $n$ : in una buca infinita i livelli non sono equidistanti.

12. Funzione d’onda normalizzata

Esercizio. Scrivere la funzione d’onda normalizzata del livello $n$ in una buca infinita tra $0$ e $L$ .

Dentro la buca:

\psi_n(x)=A\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0<x<L.

La normalizzazione richiede

\int_0^L |\psi_n(x)|^2\,dx=1.

Poiché

\int_0^L \sin^2\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\dfrac{L}{2},

si ha

A^2\dfrac{L}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}.

Quindi:

\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right).

La funzione d’onda si annulla alle pareti, perché la particella non può trovarsi fuori da una buca infinita.

13. Probabilità nella metà sinistra della buca

Esercizio. Per il livello fondamentale, calcolare la probabilità di trovare la particella nella metà sinistra $0<x<L/2$ .

Per $n=1$ :

\psi_1(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{\pi x}{L}\right).

La probabilità richiesta è

P=\int_0^{L/2}|\psi_1(x)|^2\,dx =\int_0^{L/2}\dfrac{2}{L}\sin^2\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx.

La densità $|\psi_1|^2$ è simmetrica rispetto a $L/2$ . Per simmetria, metà della probabilità sta nella metà sinistra:

P=\dfrac{1}{2}.

Il risultato non significa che la particella sia uniformemente distribuita: la densità è massima al centro e nulla alle pareti, ma la simmetria divide comunque la probabilità in due metà uguali.

Sintesi

Concetto	Formula
Livelli energetici	$E_n=n^2 h^2/(8mL^2)$
Rapporto tra livelli	$E_n=n^2 E_1$
Transizione	$\Delta E=(n_f^2-n_i^2)E_1=hf$
Fotone emesso	$\lambda=hc/\Delta E$
Onda stazionaria	$L=n\lambda/2$
Funzione d’onda	$\psi_n=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$

Errori da evitare:

ammettere $n=0$ : il livello minimo è $n=1$ (energia di punto zero non nulla);
credere che i livelli siano equispaziati: vanno con $n^2$ , quindi la spaziatura cresce;
usare la massa sbagliata (elettrone vs protone) — cambia la scala energetica di ordini di grandezza;
confondere $\Delta E$ della transizione con l’energia di un singolo livello;
dimenticare il quadrato di $L$ al denominatore: dimezzare $L$ quadruplica le energie.
interpretare $\psi$ come probabilità: la probabilità è $|\psi|^2$ integrata su un intervallo.