La fisica quantistica nasce dallo studio della radiazione. Il corpo nero emette uno spettro che obbedisce alla legge di Wien (\lambda_\text{max}T=b, con b=2{,}90\times10^{-3}\ \text{m·K}) e alla legge di Stefan-Boltzmann (I=\sigma T^4, con \sigma=5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/m}^2\text{K}^4). Planck spiegò lo spettro postulando che l’energia sia scambiata in quanti E=hf (con h=6{,}63\times10^{-34}\ \text{J·s}). Un fotone ha energia E=hf=hc/\lambda e quantità di moto p=h/\lambda.
1. Legge di Wien — picco di emissione
Esercizio. A quale lunghezza d’onda emette il massimo un corpo nero a T=5800\ \text{K} (Sole)?
\lambda_\text{max}=\dfrac{b}{T}=\dfrac{2{,}90\times10^{-3}}{5800}=5{,}0\times10^{-7}\ \text{m}=500\ \text{nm}.
Cade nel verde-visibile: per questo l’occhio è più sensibile in quella regione.
2. Temperatura da una misura di colore
Esercizio. Un metallo incandescente ha il picco di emissione a \lambda_\text{max}=700\ \text{nm} (rosso). Quale temperatura?
T=\dfrac{b}{\lambda_\text{max}}=\dfrac{2{,}90\times10^{-3}}{700\times10^{-9}}=4143\ \text{K}.
3. Legge di Stefan-Boltzmann — potenza irraggiata
Esercizio. Quale potenza per unità d’area emette un corpo nero a T=1000\ \text{K}?
I=\sigma T^4=5{,}67\times10^{-8}\times1000^4=5{,}67\times10^{-8}\times10^{12}=5{,}67\times10^4\ \text{W/m}^2.
4. Rapporto di potenze a temperature diverse
Esercizio. Di quanto aumenta la potenza irraggiata raddoppiando la temperatura assoluta?
La potenza va con T^4, quindi:
\dfrac{I_2}{I_1}=\left(\dfrac{2T}{T}\right)^4=2^4=16.
Raddoppiando T la potenza irraggiata aumenta di 16 volte.
5. Energia di un fotone
Esercizio. Quale energia di un fotone di luce verde (\lambda=550\ \text{nm})?
E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}0\times10^8}{550\times10^{-9}}=3{,}62\times10^{-19}\ \text{J}=2{,}26\ \text{eV}.
6. Numero di fotoni emessi da un laser
Esercizio. Un laser rosso (\lambda=633\ \text{nm}) ha potenza P=5{,}0\ \text{mW}. Quanti fotoni emette al secondo?
Passo 1 — energia per fotone.
Passo 2 — numero al secondo (N=P/E):
N=\dfrac{5{,}0\times10^{-3}}{3{,}14\times10^{-19}}=1{,}59\times10^{16}\ \text{fotoni/s}.
7. Effetto fotoelettrico — energia cinetica massima
Esercizio. Una superficie di lavoro di estrazione W=2{,}3\ \text{eV} è illuminata da luce \lambda=400\ \text{nm}. Quale energia cinetica massima degli elettroni emessi?
Passo 1 — energia del fotone. E=hc/\lambda=1240\ \text{eV·nm}/400\ \text{nm}=3{,}10\ \text{eV} (usando hc=1240\ \text{eV·nm}).
Passo 2 — equazione di Einstein (K_\text{max}=E-W):
K_\text{max}=3{,}10-2{,}3=0{,}80\ \text{eV}.
8. Frequenza di soglia e potenziale d’arresto
Esercizio. Per la stessa superficie (W=2{,}3\ \text{eV}): (a) quale lunghezza d’onda di soglia? (b) quale potenziale d’arresto con \lambda=400\ \text{nm} (K_\text{max}=0{,}80\ \text{eV})?
(a) Soglia (W=hc/\lambda_0): \lambda_0=1240/2{,}3=539\ \text{nm}. Oltre questa lunghezza d’onda non c’è emissione.
(b) Potenziale d’arresto (eV_a=K_\text{max}): V_a=0{,}80\ \text{V} (numericamente uguale a K_\text{max} in eV diviso per la carica).
9. Effetto Compton — spostamento di lunghezza d’onda
Esercizio. Un fotone X è diffuso da un elettrone con angolo \theta=90°. Quale spostamento Compton della lunghezza d’onda?
Lo spostamento è \Delta\lambda=\dfrac{h}{m_e c}(1-\cos\theta), con lunghezza d’onda Compton h/(m_e c)=2{,}43\times10^{-12}\ \text{m}:
\Delta\lambda=2{,}43\times10^{-12}\,(1-\cos90°)=2{,}43\times10^{-12}\,(1-0)=2{,}43\times10^{-12}\ \text{m}=2{,}43\ \text{pm}.
10. Compton — diffusione all’indietro
Esercizio. Per lo stesso fotone diffuso all’indietro (\theta=180°), quale spostamento massimo?
\Delta\lambda=2{,}43\times10^{-12}\,(1-\cos180°)=2{,}43\times10^{-12}\,(1-(-1))=2\times2{,}43\times10^{-12}=4{,}86\ \text{pm}.
Lo spostamento è massimo nella retrodiffusione (\theta=180°) e nullo in avanti (\theta=0). L’effetto Compton dimostra la natura corpuscolare della luce (urto fotone-elettrone).
11. Temperatura da potenza per unità d’area
Esercizio. Un corpo nero emette una potenza per unità d’area I=1{,}0\times10^5\ \text{W/m}^2. Stimare la temperatura.
Dalla legge di Stefan-Boltzmann:
Sostituendo:
Poiché la radice quarta equivale a due radici quadrate successive:
La dipendenza T^4 rende la stima molto sensibile alla temperatura: piccoli aumenti di T producono grandi aumenti di potenza irradiata.
12. Quantità di moto di un fotone
Esercizio. Calcolare la quantità di moto di un fotone con \lambda=500\ \text{nm}.
Per un fotone:
Quindi
Anche se la massa a riposo del fotone è nulla, il fotone trasporta quantità di moto: è il motivo fisico della pressione di radiazione e del rinculo negli urti Compton.
13. Pressione di radiazione
Esercizio. Una radiazione assorbita completamente ha intensità I=800\ \text{W/m}^2. Calcolare la pressione di radiazione.
Per assorbimento completo:
Quindi
Se la superficie riflette perfettamente, la pressione raddoppia:
Il valore è piccolo a scala quotidiana, ma diventa rilevante per vele solari, polveri interplanetarie e fasci laser intensi.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Legge di Wien | \lambda_\text{max}T=2{,}90\times10^{-3}\ \text{m·K} |
| Stefan-Boltzmann | I=\sigma T^4 |
| Energia del fotone | E=hf=hc/\lambda |
| Numero di fotoni | N=P/E |
| Effetto fotoelettrico | K_\text{max}=hf-W |
| Lunghezza d’onda di soglia | \lambda_0=hc/W |
| Effetto Compton | \Delta\lambda=\dfrac{h}{m_e c}(1-\cos\theta) |
| Quantità di moto fotone | p=h/\lambda |
| Pressione di radiazione | p_\text{rad}=I/c assorbimento, 2I/c riflessione |
Errori da evitare:
- usare T in gradi Celsius nelle leggi di Wien e Stefan-Boltzmann (serve la temperatura assoluta in kelvin);
- dimenticare la quarta potenza in Stefan-Boltzmann (I\propto T^4);
- nell’effetto fotoelettrico, credere che l’intensità della luce aumenti K_\text{max} (dipende solo dalla frequenza; l’intensità aumenta il numero di elettroni);
- usare hc=1240\ \text{eV·nm} con lunghezze d’onda in metri (mescolare unità);
- confondere lo spostamento Compton \Delta\lambda con la lunghezza d’onda finale \lambda'=\lambda+\Delta\lambda.
- dimenticare che la pressione di radiazione raddoppia in riflessione perfetta.