Psicrometria e aria umida: esercizi svolti

La psicrometria studia le proprietà dell’aria umida (miscela di aria secca e vapore acqueo), fondamentale nella climatizzazione. Grandezze chiave:

umidità relativa $\varphi=\dfrac{p_v}{p_{vs}}$ (rapporto tra pressione parziale del vapore e pressione di saturazione, in %);
umidità assoluta (titolo) $x=0{,}622\dfrac{p_v}{p-p_v}$ (kg vapore / kg aria secca);
punto di rugiada: temperatura a cui l’aria, raffreddata, raggiunge la saturazione ( $\varphi=100\%$ ).

Quando l’aria si raffredda sotto il punto di rugiada, il vapore in eccesso condensa (deumidificazione).

1. Umidità relativa

Esercizio. A $25\ °C$ l’aria ha pressione parziale del vapore $p_v=1{,}9\ \text{kPa}$ ; la pressione di saturazione a $25\ °C$ è $p_{vs}=3{,}17\ \text{kPa}$ . Calcolare l’umidità relativa.

$\varphi=\dfrac{p_v}{p_{vs}}=\dfrac{1{,}9}{3{,}17}=0{,}599=59{,}9\%.$

2. Pressione del vapore da umidità relativa

Esercizio. Aria a $30\ °C$ con $\varphi=70\%$ ; saturazione $p_{vs}=4{,}25\ \text{kPa}$ . Quale pressione parziale del vapore?

$p_v=\varphi\,p_{vs}=0{,}70\times4{,}25=2{,}98\ \text{kPa}.$

3. Umidità assoluta (titolo)

Esercizio. Calcolare l’umidità assoluta dell’aria precedente ( $p_v=2{,}98\ \text{kPa}$ , pressione totale $p=101{,}3\ \text{kPa}$ ).

\begin{aligned} x&=0{,}622\dfrac{p_v}{p-p_v}\\ &=0{,}622\times\dfrac{2{,}98}{101{,}3-2{,}98}\\ &=0{,}622\times\dfrac{2{,}98}{98{,}3}\\ &=0{,}622\times0{,}0303\\ &=0{,}0189\ \text{kg/kg}. \end{aligned}

Ogni kg di aria secca trasporta $18{,}9\ \text{g}$ di vapore.

4. Massa di vapore in un volume d’aria

Esercizio. Un locale ha $50\ \text{kg}$ di aria secca con titolo $x=0{,}012\ \text{kg/kg}$ . Quanta acqua (vapore) contiene?

$m_\text{vapore}=x\times m_\text{aria secca}=0{,}012\times50=0{,}60\ \text{kg}=600\ \text{g}.$

5. Punto di rugiada

Esercizio. Aria a $25\ °C$ con $p_v=1{,}9\ \text{kPa}$ . Sapendo che $p_{vs}=1{,}9\ \text{kPa}$ corrisponde a circa $16{,}7\ °C$ , qual è il punto di rugiada?

Il punto di rugiada è la temperatura a cui $p_{vs}(T)=p_v$ , cioè dove l’aria diventa satura senza aggiungere vapore:

$T_\text{rugiada}=16{,}7\ °C.$

Raffreddando l’aria sotto $16{,}7\ °C$ inizia la condensa (rugiada, appannamento dei vetri).

6. Condensa su una superficie fredda

Esercizio. L’aria di un locale ha punto di rugiada $14\ °C$ . Una finestra ha superficie interna a $10\ °C$ . Si forma condensa?

La superficie ( $10\ °C$ ) è più fredda del punto di rugiada ( $14\ °C$ ): l’aria a contatto si raffredda sotto la saturazione e il vapore condensa sul vetro. Per evitarlo si alza la temperatura superficiale (vetri isolanti) o si riduce l’umidità.

7. Riscaldamento dell’aria (titolo costante)

Esercizio. Aria a $15\ °C$ con $\varphi=80\%$ viene scaldata a $25\ °C$ senza aggiungere acqua. Come cambiano titolo e umidità relativa?

Il titolo $x$ resta costante (non si aggiunge né toglie vapore). Ma scaldando aumenta $p_{vs}$ (l’aria calda “può contenere” più vapore), quindi l’umidità relativa diminuisce:

$\varphi=\dfrac{p_v}{p_{vs}(T)},\qquad p_v=\text{cost},\ p_{vs}\uparrow\ \Rightarrow\ \varphi\downarrow.$

È il motivo per cui in inverno il riscaldamento rende l’aria interna “secca” (umidità relativa bassa).

8. Raffreddamento con deumidificazione

Esercizio. Aria a $30\ °C$ , titolo $x_1=0{,}018\ \text{kg/kg}$ , viene raffreddata a $10\ °C$ dove il titolo di saturazione è $x_2=0{,}0076\ \text{kg/kg}$ . Quanta acqua condensa per kg di aria secca?

Il titolo non può superare quello di saturazione: l’eccesso condensa:

$\Delta x=x_1-x_2=0{,}018-0{,}0076=0{,}0104\ \text{kg/kg}.$

Per ogni kg di aria secca condensano $10{,}4\ \text{g}$ di acqua: è il principio del deumidificatore e del condizionatore.

9. Miscela di due correnti d’aria

Esercizio. Si miscelano $2{,}0\ \text{kg/s}$ di aria a titolo $x_1=0{,}008$ con $3{,}0\ \text{kg/s}$ a titolo $x_2=0{,}016\ \text{kg/kg}$ . Titolo della miscela?

Il titolo della miscela è la media pesata sulle portate di aria secca:

\begin{aligned} x_m&=\dfrac{\dot{m}_1 x_1+\dot{m}_2 x_2}{\dot{m}_1+\dot{m}_2}\\ &=\dfrac{2{,}0\times0{,}008+3{,}0\times0{,}016}{2{,}0+3{,}0}\\ &=\dfrac{0{,}016+0{,}048}{5{,}0}\\ &=\dfrac{0{,}064}{5{,}0}\\ &=0{,}0128\ \text{kg/kg}. \end{aligned}

10. Calore per riscaldare l’aria umida

Esercizio. Quanto calore per scaldare $1{,}0\ \text{kg}$ di aria secca da $15$ a $25\ °C$ a titolo costante $x=0{,}010$ ? (calore specifico dell’aria umida $c_\text{pa}\approx1{,}005+1{,}88\,x\ \text{kJ/(kg·K)}$ ).

Passo 1 — calore specifico dell’aria umida.

$c_\text{pa}=1{,}005+1{,}88\times0{,}010=1{,}005+0{,}0188=1{,}024\ \text{kJ/(kg·K)}.$

Passo 2 — calore.

$q=c_\text{pa}\,\Delta T=1{,}024\times(25-15)=1{,}024\times10=10{,}2\ \text{kJ/kg}.$

11. Entalpia specifica dell’aria umida

Esercizio. Calcolare l’entalpia di aria umida a $T=25\ °C$ e titolo $x=0{,}010\ \text{kg/kg}$ , usando

h=1{,}005T+x(2501+1{,}88T)

in $\text{kJ/kg}$ di aria secca.

Sostituiamo:

h=1{,}005\times25+0{,}010(2501+1{,}88\times25).

h=25{,}1+0{,}010(2501+47{,}0) =25{,}1+25{,}48 =50{,}6\ \text{kJ/kg}.

L’entalpia include sia il calore sensibile dell’aria secca sia il contributo del vapore, dominato dal calore latente di evaporazione. È la grandezza più comoda per calcolare batterie di trattamento aria e miscele.

12. Carico di raffreddamento e deumidificazione

Esercizio. Una portata di $1{,}5\ \text{kg/s}$ di aria secca passa da $h_1=72\ \text{kJ/kg}$ , $x_1=0{,}018$ a $h_2=38\ \text{kJ/kg}$ , $x_2=0{,}008$ . Calcolare potenza frigorifera e portata di condensa.

La potenza frigorifera totale è:

\dot{Q}=\dot{m}_a(h_1-h_2) =1{,}5(72-38) =51\ \text{kW}.

La portata d’acqua condensata è:

\dot{m}_w=\dot{m}_a(x_1-x_2) =1{,}5(0{,}018-0{,}008) =0{,}015\ \text{kg/s}.

In un’ora:

m_w=0{,}015\times3600=54\ \text{kg/h}.

Il carico totale comprende calore sensibile e latente; guardare solo la variazione di temperatura sottostima il lavoro della batteria fredda quando c’è deumidificazione.

13. Umidificazione con vapore

Esercizio. Una corrente di $2{,}0\ \text{kg/s}$ di aria secca deve passare da $x_1=0{,}006$ a $x_2=0{,}010\ \text{kg/kg}$ mediante iniezione di vapore. Quale portata di acqua va aggiunta?

La portata di vapore richiesta è la variazione di titolo moltiplicata per la portata di aria secca:

\dot{m}_v=\dot{m}_a(x_2-x_1) =2{,}0(0{,}010-0{,}006) =0{,}008\ \text{kg/s}.

In kg/h:

\dot{m}_v=0{,}008\times3600=28{,}8\ \text{kg/h}.

L’umidificazione cambia il titolo, quindi anche la pressione parziale del vapore e l’entalpia. In progetto HVAC va sempre specificato se l’umidificazione è con vapore, con acqua nebulizzata o adiabatica: i bilanci energetici cambiano.

Sintesi

Grandezza	Formula
Umidità relativa	$\varphi=p_v/p_{vs}$
Umidità assoluta	$x=0{,}622\,p_v/(p-p_v)$
Punto di rugiada	$T$ tale che $p_{vs}(T)=p_v$
Miscela	$x_m=$ media pesata sulle portate
Entalpia aria umida	$h=1{,}005T+x(2501+1{,}88T)$
Condensa	$\dot{m}_w=\dot{m}_a(x_1-x_2)$

Riscaldamento: $x$ costante, $\varphi$ scende. Raffreddamento sotto rugiada: condensa $\Delta x$ .

Errori da evitare:

confondere umidità relativa (%) e assoluta (kg/kg);
credere che il riscaldamento cambi il titolo (resta costante, cambia solo $\varphi$ );
nella miscela, mediare sui kg totali invece che sui kg di aria secca;
calcolare il carico frigorifero solo con $c_p\Delta T$ quando avviene deumidificazione: serve la differenza di entalpia.