Primo principio della termodinamica: esercizi svolti

Il primo principio è la conservazione dell’energia per i sistemi termodinamici:

$\Delta U=Q-L,$

dove $\Delta U$ è la variazione di energia interna, $Q$ il calore assorbito dal sistema, $L$ il lavoro compiuto dal sistema. Convenzioni di segno (fisica): $Q>0$ se il sistema assorbe calore, $L>0$ se il sistema compie lavoro (si espande). L’energia interna è una funzione di stato: $\Delta U$ dipende solo dagli stati iniziale e finale, non dal percorso. Per un gas perfetto $\Delta U=n c_v\Delta T$ .

1. Bilancio energetico di base

Esercizio. Un gas assorbe $Q=500\ \text{J}$ di calore e compie $L=200\ \text{J}$ di lavoro. Quale variazione di energia interna?

$\Delta U=Q-L=500-200=300\ \text{J}.$

L’energia interna aumenta: parte del calore è andata in lavoro, il resto in energia interna.

2. Calore in una trasformazione isoterma

In un’isoterma di un gas perfetto $\Delta U=0$ (T costante), quindi $Q=L$ .

Esercizio. Un gas perfetto si espande isotermicamente compiendo $L=800\ \text{J}$ . Quanto calore assorbe?

Poiché $\Delta U=0$ :

$Q=L=800\ \text{J}.$

Tutto il calore assorbito si converte in lavoro: niente resta come energia interna.

3. Trasformazione isocora

A volume costante $L=0$ , quindi $\Delta U=Q$ .

Esercizio. Un gas in recipiente rigido assorbe $Q=350\ \text{J}$ . Quale variazione di energia interna e lavoro?

Volume costante → $L=0$ :

$\Delta U=Q-L=350-0=350\ \text{J}.$

Tutto il calore va in energia interna (la temperatura sale).

4. Trasformazione isobara: calore, lavoro, energia interna

Esercizio. $2{,}0\ \text{mol}$ di gas monoatomico ( $c_v=\dfrac{3}{2} R$ ) si scaldano a pressione costante da $300\ \text{K}$ a $400\ \text{K}$ . Calcolare $L$ , $\Delta U$ e $Q$ .

Passo 1 — lavoro isobaro ( $L=nR\Delta T$ , da $P\Delta V=nR\Delta T$ ):

$L=nR\Delta T=2{,}0\times8{,}314\times100=1663\ \text{J}.$

Passo 2 — variazione di energia interna ( $\Delta U=nc_v\Delta T$ ):

$\Delta U=n\,\dfrac{3}{2} R\,\Delta T=2{,}0\times\dfrac{3}{2}\times8{,}314\times100=2{,}0\times12{,}47\times100=2494\ \text{J}.$

Passo 3 — calore (primo principio):

$Q=\Delta U+L=2494+1663=4157\ \text{J}.$

(Coincide con $Q=nc_p\Delta T=2{,}0\times\dfrac{5}{2} R\times100=4157\ \text{J}$ .) ✓

5. Lavoro compiuto sul gas (compressione)

Esercizio. Si comprime un gas fornendogli $L=-300\ \text{J}$ (lavoro fatto sul gas) mentre cede $Q=-100\ \text{J}$ di calore. Variazione di energia interna?

I segni: il gas riceve lavoro ( $L<0$ nella convenzione “lavoro compiuto dal sistema”) e cede calore ( $Q<0$ ):

$\Delta U=Q-L=-100-(-300)=-100+300=200\ \text{J}.$

L’energia interna aumenta (la compressione scalda il gas, supera la perdita di calore).

6. Ciclo termodinamico: energia interna nulla

In un ciclo il sistema torna allo stato iniziale, quindi $\Delta U_\text{ciclo}=0$ e $Q_\text{netto}=L_\text{netto}$ .

Esercizio. In un ciclo un gas assorbe $Q_1=1000\ \text{J}$ in una fase e cede $Q_2=600\ \text{J}$ in un’altra. Quale lavoro netto per ciclo?

Passo 1 — calore netto.

$Q_\text{netto}=Q_1-Q_2=1000-600=400\ \text{J}.$

Passo 2 — lavoro netto (poiché $\Delta U=0$ in un ciclo):

$L_\text{netto}=Q_\text{netto}=400\ \text{J}.$

7. Espansione libera (Joule)

Nell’espansione libera nel vuoto il gas non incontra resistenza: $L=0$ . Se il recipiente è isolato, $Q=0$ , quindi $\Delta U=0$ .

Esercizio. Un gas perfetto si espande liberamente nel vuoto (recipiente isolato), raddoppiando il volume. Come cambiano $U$ e $T$ ?

Passo 1 — lavoro e calore. Espansione contro il vuoto: $L=0$ . Recipiente isolato: $Q=0$ .

Passo 2 — primo principio.

$\Delta U=Q-L=0-0=0.$

Passo 3 — temperatura. Per un gas perfetto $U$ dipende solo da $T$ , quindi $\Delta U=0\Rightarrow\Delta T=0$ : la temperatura non cambia nell’espansione libera di un gas perfetto (anche se il volume raddoppia).

8. Energia interna come funzione di stato

Esercizio. Un gas va dallo stato A allo stato B per due percorsi diversi: nel primo $Q_1=500\ \text{J}$ , $L_1=200\ \text{J}$ ; nel secondo $L_2=350\ \text{J}$ . Quale $Q_2$ nel secondo percorso?

Passo 1 — $\Delta U$ è uguale (funzione di stato, stessi A e B):

$\Delta U=Q_1-L_1=500-200=300\ \text{J}.$

Passo 2 — calore nel secondo percorso.

$Q_2=\Delta U+L_2=300+350=650\ \text{J}.$

$Q$ e $L$ dipendono dal percorso, ma la loro differenza ( $\Delta U$ ) no.

9. Riscaldamento a volume costante poi espansione

Esercizio. $1{,}0\ \text{mol}$ di gas biatomico ( $c_v=\dfrac{5}{2} R$ ) viene prima scaldato a volume costante da $300\ \text{K}$ a $400\ \text{K}$ , poi si espande isotermicamente a $400\ \text{K}$ compiendo $L=2000\ \text{J}$ . Calcolare $\Delta U$ totale e $Q$ totale.

Passo 1 — fase isocora ( $L=0$ ):

\Delta U_1=nc_v\Delta T =1{,}0\times\dfrac{5}{2}\times8{,}314\times100 =2079\ \text{J}.

Poiché il volume è costante, $Q_1=\Delta U_1=2079\ \text{J}$ .

Passo 2 — fase isoterma ( $\Delta U_2=0$ ): $Q_2=L_2=2000\ \text{J}$ .

Passo 3 — totali.

$\Delta U_\text{tot}=\Delta U_1+\Delta U_2=2079+0=2079\ \text{J}.$ $Q_\text{tot}=Q_1+Q_2=2079+2000=4079\ \text{J}.$

Sintesi

Trasformazione	$\Delta U$	$L$	$Q$
Isoterma	$0$	$nRT\ln(V_2/V_1)$	$=L$
Isocora	$nc_v\Delta T$	$0$	$=\Delta U$
Isobara	$nc_v\Delta T$	$nR\Delta T$	$nc_p\Delta T$
Ciclo	$0$	$=Q_\text{netto}$	$=L_\text{netto}$
Espansione libera	$0$	$0$	$0$

Primo principio: $\Delta U=Q-L$ . Energia interna funzione di stato: $\Delta U=nc_v\Delta T$ sempre (gas perfetto).

Errori da evitare:

sbagliare le convenzioni di segno ( $Q$ assorbito $>0$ , $L$ compiuto dal gas $>0$ );
credere che in un’espansione libera la temperatura cambi (per gas perfetto resta costante);
usare $\Delta U=0$ in trasformazioni non isoterme (vale solo a $T$ costante).