La pressione è forza per unità di superficie, p=F/A, misurata in pascal (1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2). In un fluido in quiete la pressione cresce linearmente con la profondità secondo la legge di Stevin:
p=p_0+\rho g h,
dove p_0 è la pressione sulla superficie libera, \rho la densità, g l’accelerazione di gravità e h la profondità. La pressione dipende solo dalla profondità, non dalla forma del recipiente né dalla quantità di fluido: è il paradosso idrostatico. Unità d’uso comune: 1\ \text{atm}=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}=760\ \text{mmHg}=1{,}013\ \text{bar}.
1. Pressione assoluta a una data profondità
Esercizio. Quale pressione assoluta agisce a h=10\ \text{m} sotto la superficie del mare (\rho=1025\ \text{kg/m}^3)? Pressione atmosferica p_0=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}.
Passo 1 — battente d’acqua. \rho g h=1025\times9{,}8\times10=1{,}005\times10^5\ \text{Pa}.
Passo 2 — pressione assoluta (Stevin).
p=p_0+\rho g h=1{,}013\times10^5+1{,}005\times10^5=2{,}018\times10^5\ \text{Pa}\approx2{,}0\ \text{atm}.
A circa 10\ \text{m} di profondità la pressione raddoppia rispetto alla superficie.
2. Pressione relativa (manometrica)
Esercizio. Un sub scende a h=25\ \text{m} in acqua dolce (\rho=1000\ \text{kg/m}^3). Quale pressione relativa (rispetto all’atmosfera) sopporta?
La pressione relativa esclude p_0 (perché l’atmosfera agisce già su tutto il corpo):
p_\text{rel}=\rho g h=1000\times9{,}8\times25=2{,}45\times10^5\ \text{Pa}\approx2{,}4\ \text{atm}.
La pressione assoluta sarebbe p_0+p_\text{rel}\approx3{,}4\ \text{atm}.
3. Profondità da una pressione misurata
Esercizio. Un sensore segna una pressione assoluta p=4{,}5\times10^5\ \text{Pa} in acqua di mare (\rho=1025\ \text{kg/m}^3, p_0=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}). A quale profondità si trova?
Invertendo Stevin, h=(p-p_0)/(\rho g):
h=\dfrac{4{,}5\times10^5-1{,}013\times10^5}{1025\times9{,}8}=\dfrac{3{,}487\times10^5}{1{,}0045\times10^4}=34{,}7\ \text{m}.
4. Forza sul fondo di un recipiente
Esercizio. Una vasca cilindrica (A=0{,}50\ \text{m}^2) contiene acqua per h=1{,}2\ \text{m} (\rho=1000\ \text{kg/m}^3). Quale forza preme sul fondo?
Passo 1 — pressione relativa sul fondo (l’atmosfera agisce anche sotto, quindi conta la relativa):
p_\text{rel}=\rho g h=1000\times9{,}8\times1{,}2=11\,760\ \text{Pa}.
Passo 2 — forza. F=p_\text{rel}\,A=11\,760\times0{,}50=5880\ \text{N}.
(Equivale al peso dell’acqua contenuta: \rho gAh= stesso valore, perché il recipiente è cilindrico.)
5. Paradosso idrostatico
Esercizio. Tre recipienti — cilindrico, svasato verso l’alto e svasato verso il basso — hanno lo stesso fondo A=200\ \text{cm}^2 e contengono acqua fino alla stessa altezza h=0{,}40\ \text{m}. Confrontare la forza sul fondo.
La forza sul fondo dipende solo da p=\rho g h e dall’area del fondo, non dalla forma né dal peso totale del liquido:
F=\rho g h\,A=1000\times9{,}8\times0{,}40\times0{,}020=78{,}4\ \text{N}.
Identica nei tre casi, pur contenendo masse d’acqua diverse: è il paradosso idrostatico (le pareti inclinate scaricano la differenza di peso).
6. Pressione in due punti alla stessa quota
Esercizio. In un recipiente di forma irregolare, due punti A e B si trovano alla stessa profondità h=0{,}60\ \text{m} ma in rami diversi. Quale pressione relativa in ciascuno (\rho=1000\ \text{kg/m}^3)?
In un fluido in quiete tutti i punti alla stessa quota hanno la stessa pressione (superficie isobarica orizzontale):
p_A=p_B=\rho g h=1000\times9{,}8\times0{,}60=5880\ \text{Pa}.
La forma del ramo è irrilevante: conta solo la profondità.
7. Fluidi sovrapposti non miscibili
Esercizio. Un recipiente contiene olio (\rho_o=850\ \text{kg/m}^3, spessore 0{,}30\ \text{m}) sopra acqua (\rho_a=1000\ \text{kg/m}^3, spessore 0{,}50\ \text{m}). Quale pressione relativa sul fondo?
I battenti si sommano (Stevin applicata strato per strato):
p=\rho_o g h_o+\rho_a g h_a=850\times9{,}8\times0{,}30+1000\times9{,}8\times0{,}50.
p=2499+4900=7399\ \text{Pa}\approx7{,}4\times10^3\ \text{Pa}.
8. Pressione all’interfaccia tra due fluidi
Esercizio. Nello stesso recipiente (olio sopra acqua), quale pressione relativa all’interfaccia olio-acqua?
All’interfaccia conta solo il battente d’olio sovrastante:
p_\text{int}=\rho_o g h_o=850\times9{,}8\times0{,}30=2499\ \text{Pa}\approx2{,}5\times10^3\ \text{Pa}.
Scendendo nell’acqua la pressione cresce di \rho_a g h_a fino al valore sul fondo dell’esercizio 7.
9. Vasi comunicanti — stesso fluido
Esercizio. Due serbatoi di sezione diversa sono collegati alla base e contengono acqua. Nel primo il livello è a 0{,}80\ \text{m}. A quale livello si porta il secondo all’equilibrio?
Con un solo fluido, i vasi comunicanti raggiungono lo stesso livello indipendentemente dalla sezione (la pressione alla base deve coincidere):
h_2=h_1=0{,}80\ \text{m}.
10. Vasi comunicanti — fluidi diversi
Esercizio. In un tubo a U si versa olio (\rho_o=800\ \text{kg/m}^3) in un ramo e c’è acqua (\rho_a=1000\ \text{kg/m}^3) nell’altro. La colonna d’olio è alta h_o=20\ \text{cm} sopra l’interfaccia. Quale altezza d’acqua h_a la bilancia?
All’interfaccia la pressione è uguale nei due rami (\rho_o g h_o=\rho_a g h_a):
h_a=h_o\dfrac{\rho_o}{\rho_a}=20\times\dfrac{800}{1000}=16\ \text{cm}.
Il fluido più denso sale meno: le altezze sono inversamente proporzionali alle densità.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Pressione | p=F/A |
| Legge di Stevin | p=p_0+\rho g h |
| Pressione relativa | p_\text{rel}=\rho g h |
| Forza sul fondo | F=\rho g h\,A |
| Fluidi sovrapposti | \displaystyle p=\sum_i \rho_i g h_i |
| Vasi comunicanti (fluidi diversi) | \rho_1 h_1=\rho_2 h_2 |
Errori da evitare:
- confondere pressione assoluta (p_0+\rho gh) e relativa (\rho gh): per la forza netta sul fondo si usa la relativa;
- credere che la forza sul fondo dipenda dalla quantità di liquido o dalla forma (dipende solo da h e A: paradosso idrostatico);
- dimenticare di sommare i battenti in fluidi sovrapposti;
- nei vasi comunicanti con fluidi diversi, eguagliare le altezze invece delle pressioni (le altezze sono inverse alle densità).