Il potenziale elettrico V è l’energia potenziale per unità di carica: V=U/q. Per una carica puntiforme:
V=k\dfrac{q}{r},\qquad k=8{,}99\times10^9\ \dfrac{\text{N·m}^2}{\text{C}^2}.
Il potenziale è scalare (si somma algebricamente, con il segno della carica), si misura in volt (V). La relazione con il campo: \vec{E}=-\nabla V, e per campo uniforme \Delta V=-E\,d. Il lavoro per spostare una carica q tra due punti: W=q(V_A-V_B)=-q\Delta V. L’energia di un sistema di cariche è U=k\dfrac{q_1 q_2}{r} per ogni coppia.
1. Potenziale di una carica puntiforme
Esercizio. Calcolare il potenziale a r=0{,}25\ \text{m} da una carica q=4{,}0\ \mu\text{C}.
V=k\dfrac{q}{r}=8{,}99\times10^9\times\dfrac{4{,}0\times10^{-6}}{0{,}25}=8{,}99\times10^9\times1{,}6\times10^{-5}=1{,}44\times10^5\ \text{V}.
2. Potenziale di più cariche (somma scalare)
Esercizio. Due cariche q_1=+3{,}0\ \mu\text{C} a r_1=0{,}20\ \text{m} e q_2=-2{,}0\ \mu\text{C} a r_2=0{,}40\ \text{m} da un punto P. Potenziale in P.
Il potenziale è scalare: si sommano con i loro segni.
V=k\dfrac{q_1}{r_1}+k\dfrac{q_2}{r_2}=8{,}99\times10^9\left(\dfrac{3{,}0\times10^{-6}}{0{,}20}+\dfrac{-2{,}0\times10^{-6}}{0{,}40}\right).
V=8{,}99\times10^9\times(1{,}5\times10^{-5}-5{,}0\times10^{-6})=8{,}99\times10^9\times1{,}0\times10^{-5}=8{,}99\times10^4\ \text{V}.
3. Energia potenziale di una carica
Esercizio. Quale energia potenziale ha una carica q=2{,}0\ \mu\text{C} posta in un punto a potenziale V=5{,}0\times10^4\ \text{V}?
U=qV=2{,}0\times10^{-6}\times5{,}0\times10^4=0{,}10\ \text{J}.
4. Lavoro per spostare una carica
Esercizio. Quanto lavoro per spostare q=3{,}0\ \mu\text{C} da un punto a V_A=8{,}0\times10^4\ \text{V} a uno a V_B=2{,}0\times10^4\ \text{V}?
W=q(V_A-V_B)=3{,}0\times10^{-6}\times(8{,}0\times10^4-2{,}0\times10^4)=3{,}0\times10^{-6}\times6{,}0\times10^4=0{,}18\ \text{J}.
Lavoro positivo: la carica positiva si muove spontaneamente verso potenziale minore.
5. Relazione campo-potenziale (campo uniforme)
Esercizio. In un campo uniforme E=2000\ \text{N/C}, quale differenza di potenziale tra due punti distanti d=0{,}05\ \text{m} lungo il campo?
\Delta V=E\,d=2000\times0{,}05=100\ \text{V}.
Il potenziale diminuisce nel verso del campo (di 100\ \text{V} in questo caso).
6. Campo da potenziale
Esercizio. Tra due piastre distanti d=0{,}02\ \text{m} c’è una differenza di potenziale \Delta V=120\ \text{V}. Quale campo?
Per campo uniforme E=\Delta V/d:
E=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{120}{0{,}02}=6000\ \text{V/m}.
7. Energia di un sistema di due cariche
Esercizio. Calcolare l’energia potenziale del sistema di due cariche q_1=4{,}0\ \mu\text{C} e q_2=-3{,}0\ \mu\text{C} a distanza r=0{,}30\ \text{m}.
Energia negativa: il sistema è legato (cariche opposte si attraggono).
8. Velocità di una carica accelerata
Esercizio. Un elettrone (q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}, m=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}) parte da fermo e attraversa una differenza di potenziale di 100\ \text{V}. Quale velocità acquista?
Passo 1 — energia acquisita (l’energia potenziale persa diventa cinetica):
\dfrac{1}{2} mv^2=q\,\Delta V\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\dfrac{2q\,\Delta V}{m}}.
Passo 2 — calcolo.
9. Superfici equipotenziali
Esercizio. Quanto lavoro per spostare una carica lungo una superficie equipotenziale?
Su una superficie equipotenziale V è costante, quindi \Delta V=0:
W=-q\Delta V=-q\times0=0\ \text{J}.
Nessun lavoro: il campo è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali, quindi non compie lavoro lungo di esse.
10. Potenziale di una sfera conduttrice
Esercizio. Una sfera conduttrice di raggio R=0{,}10\ \text{m} porta carica Q=5{,}0\ \mu\text{C}. Quale potenziale sulla sua superficie?
Una sfera conduttrice si comporta, all’esterno e in superficie, come una carica puntiforme al centro:
V=k\dfrac{Q}{R}=8{,}99\times10^9\times\dfrac{5{,}0\times10^{-6}}{0{,}10}=4{,}50\times10^5\ \text{V}.
All’interno il potenziale è costante e uguale a quello superficiale (il campo interno è nullo).
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Potenziale carica puntiforme | V=kq/r |
| Sovrapposizione | somma scalare (con segno) |
| Energia potenziale | U=qV |
| Lavoro | W=q(V_A-V_B) |
| Campo-potenziale (uniforme) | E=\Delta V/d |
| Energia coppia di cariche | U=kq_1q_2/r |
Il potenziale è scalare; il campo è perpendicolare alle equipotenziali.
Errori da evitare:
- trattare il potenziale come vettore (è scalare, somma con segno);
- dimenticare il segno della carica nel potenziale e nell’energia;
- confondere differenza di potenziale (\Delta V=Ed) e potenziale assoluto.