Le onde elettromagnetiche sono trasversali e possono essere polarizzate (direzione di oscillazione del campo elettrico definita). Un polarizzatore trasmette solo la componente parallela al suo asse, secondo la legge di Malus:
I=I_0\cos^2\theta.
All’interfaccia tra due mezzi, l’onda si riflette e rifrange. La legge di Snell: n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2. All’angolo di Brewster (\tan\theta_B=n_2/n_1) la luce riflessa è completamente polarizzata. Oltre l’angolo limite (da mezzo denso a meno denso) si ha riflessione totale.
1. Legge di Malus
Esercizio. Luce polarizzata di intensità I_0=200\ \text{W/m}^2 attraversa un polarizzatore il cui asse forma 30° con la polarizzazione. Quale intensità trasmessa?
I=I_0\cos^2\theta=200\times\cos^2 30°=200\times(0{,}866)^2=200\times0{,}75=150\ \text{W/m}^2.
2. Luce non polarizzata attraverso un polarizzatore
Esercizio. Luce non polarizzata di intensità I_0=400\ \text{W/m}^2 attraversa un polarizzatore. Quale intensità trasmessa?
Per luce non polarizzata, la media di \cos^2\theta su tutti gli angoli è 1/2:
I=\dfrac{I_0}{2}=\dfrac{400}{2}=200\ \text{W/m}^2.
Un polarizzatore dimezza sempre l’intensità della luce non polarizzata.
3. Due polarizzatori incrociati
Esercizio. Luce non polarizzata (I_0=400\ \text{W/m}^2) attraversa due polarizzatori i cui assi formano 60°. Intensità finale?
Passo 1 — dopo il primo (dimezza): I_1=I_0/2=200\ \text{W/m}^2.
Passo 2 — dopo il secondo (Malus, \theta=60°):
I_2=I_1\cos^2 60°=200\times(0{,}50)^2=200\times0{,}25=50\ \text{W/m}^2.
4. Polarizzatori a 90° (estinzione)
Esercizio. Cosa accade se due polarizzatori sono incrociati a 90°?
Per Malus con \theta=90°:
I=I_1\cos^2 90°=I_1\times0=0\ \text{W/m}^2.
Nessuna luce passa (estinzione): è il principio degli schermi LCD e degli occhiali polarizzati incrociati.
5. Legge di Snell (rifrazione)
Esercizio. Luce passa dall’aria (n_1=1{,}00) all’acqua (n_2=1{,}33) con angolo di incidenza 40°. Quale angolo di rifrazione?
Passo 1 — legge di Snell.
\sin\theta_2=\dfrac{n_1\sin\theta_1}{n_2}=\dfrac{1{,}00\times\sin40°}{1{,}33}=\dfrac{0{,}643}{1{,}33}=0{,}483.
Passo 2 — angolo.
\theta_2=\arcsin(0{,}483)=28{,}9°.
La luce si avvicina alla normale entrando in un mezzo più denso.
6. Angolo di Brewster
Esercizio. Calcolare l’angolo di Brewster per la luce che passa dall’aria (n_1=1{,}00) al vetro (n_2=1{,}50).
\tan\theta_B=\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{1{,}50}{1{,}00}=1{,}50\ \Rightarrow\ \theta_B=\arctan(1{,}50)=56{,}3°.
A questo angolo la luce riflessa è completamente polarizzata (perpendicolare al piano di incidenza).
7. Angolo limite e riflessione totale
Esercizio. Calcolare l’angolo limite per la luce che passa dall’acqua (n_1=1{,}33) all’aria (n_2=1{,}00).
All’angolo limite \theta_2=90°:
\sin\theta_\text{lim}=\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{1{,}00}{1{,}33}=0{,}752\ \Rightarrow\ \theta_\text{lim}=\arcsin(0{,}752)=48{,}8°.
Oltre 48{,}8° la luce non esce dall’acqua: si ha riflessione totale interna (principio delle fibre ottiche).
8. Verifica della riflessione totale
Esercizio. Un raggio nell’acqua (n=1{,}33) colpisce la superficie a 55°. Esce dall’acqua o si riflette totalmente?
L’angolo limite è 48{,}8° (esercizio 7). Poiché 55°>48{,}8°:
\theta=55°>\theta_\text{lim}=48{,}8°\ \Rightarrow\ \text{riflessione totale}.
Il raggio non esce, viene completamente riflesso all’interno.
9. Coefficiente di riflessione (incidenza normale)
A incidenza normale il coefficiente di riflessione dell’intensità è R=\left(\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2.
Esercizio. Quale frazione di luce si riflette passando dall’aria (n_1=1{,}00) al vetro (n_2=1{,}50) a incidenza normale?
Il 4\% della luce si riflette su ogni superficie aria-vetro: per questo le lenti hanno trattamenti antiriflesso.
10. Frazione trasmessa
Esercizio. Per l’interfaccia aria-vetro precedente (R=4{,}0\%), quale frazione di luce viene trasmessa?
Per conservazione dell’energia (senza assorbimento), trasmesso = 1-R:
T=1-R=1-0{,}040=0{,}960=96{,}0\%.
Sintesi
| Fenomeno | Formula |
|---|---|
| Legge di Malus | I=I_0\cos^2\theta |
| Non polarizzata + polarizzatore | I=I_0/2 |
| Legge di Snell | n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 |
| Angolo di Brewster | \tan\theta_B=n_2/n_1 |
| Angolo limite | \sin\theta_\text{lim}=n_2/n_1 (n_1>n_2) |
| Riflessione normale | R=[(n_1-n_2)/(n_1+n_2)]^2 |
Riflessione totale solo da mezzo denso a meno denso, oltre l’angolo limite.
Errori da evitare:
- dimenticare il quadrato nella legge di Malus (\cos^2, non \cos);
- cercare la riflessione totale passando a un mezzo più denso (avviene solo verso un mezzo meno denso);
- confondere angolo di Brewster (polarizzazione) e angolo limite (riflessione totale).