Nei fluidi reali l’energia si dissipa per attrito. Le perdite di carico distribuite lungo un condotto si calcolano con la formula di Darcy-Weisbach:
h_f=f\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g},
con f fattore d’attrito; le perdite concentrate (gomiti, valvole) valgono \displaystyle h_L=\sum K\,v^2/(2g). Per un corpo sferico in moto lento (Re<1) la resistenza è data dalla legge di Stokes, F=6\pi\mu r v; ad alti Re la resistenza diventa quadratica, F_D=\dfrac{1}{2}\rho v^2 C_D A.
1. Perdita di carico distribuita (Darcy-Weisbach)
Esercizio. In un tubo (D=5{,}0\ \text{cm}, L=100\ \text{m}) scorre acqua a v=2{,}0\ \text{m/s} con fattore d’attrito f=0{,}02. Quale perdita di carico in altezza?
Corrisponde a \Delta p=\rho g h_f=1000\times9{,}8\times8{,}16\approx8{,}0\times10^4\ \text{Pa}.
2. Fattore d’attrito laminare (Poiseuille)
Esercizio. In regime laminare il fattore d’attrito vale f=64/Re. Per olio a Re=40 in un tubo (D=2{,}0\ \text{cm}, L=8{,}0\ \text{m}, v=0{,}30\ \text{m/s}), quale perdita di carico?
Passo 1 — fattore d’attrito. f=64/Re=64/40=1{,}6.
Passo 2 — Darcy-Weisbach.
In regime laminare f è grande ma indipendente dalla rugosità (conta solo Re).
3. Perdite concentrate (coefficiente K)
Esercizio. Lungo una tubazione (v=2{,}0\ \text{m/s}) ci sono due gomiti (K=0{,}9 ciascuno) e una valvola (K=2{,}5). Quale perdita di carico localizzata totale?
Le perdite concentrate si sommano, \displaystyle h_L=\big(\sum K\big)\dfrac{v^2}{2g}:
\sum K=2\times0{,}9+2{,}5=4{,}3,\qquad h_L=4{,}3\times\dfrac{2{,}0^2}{2\times9{,}8}=4{,}3\times0{,}204=0{,}877\ \text{m}.
4. Perdita totale (distribuite + concentrate)
Esercizio. Sommando le perdite degli esercizi 1 (h_f=8{,}16\ \text{m}) e 3 (h_L=0{,}877\ \text{m}, stessa v), quale perdita di carico totale e quale Δp?
h_\text{tot}=h_f+h_L=8{,}16+0{,}877=9{,}04\ \text{m},\qquad \Delta p=\rho g h_\text{tot}=1000\times9{,}8\times9{,}04=8{,}86\times10^4\ \text{Pa}.
5. Bernoulli generalizzato con pompa e perdite
Esercizio. Una pompa solleva acqua tra due serbatoi (\Delta z=15\ \text{m}, pressioni e velocità trascurabili). Le perdite totali valgono h_f=8{,}0\ \text{m}. Quale prevalenza serve, e quale potenza per Q=20\ \text{L/s}?
Passo 1 — prevalenza (copre dislivello + perdite): H_\text{pompa}=\Delta z+h_f=15+8{,}0=23\ \text{m}.
Passo 2 — potenza idraulica (P=\rho Q g H_\text{pompa}):
P=1000\times20\times10^{-3}\times9{,}8\times23=4508\ \text{W}\approx4{,}5\ \text{kW}.
Con rendimento \eta<1 la potenza all’asse sarebbe P/\eta.
6. Potenza all’asse con rendimento
Esercizio. La pompa precedente (P_\text{idr}=4{,}5\ \text{kW}) ha rendimento \eta=0{,}75. Quale potenza elettrica/all’asse assorbe?
P_\text{asse}=\dfrac{P_\text{idr}}{\eta}=\dfrac{4508}{0{,}75}=6011\ \text{W}\approx6{,}0\ \text{kW}.
La differenza (\approx1{,}5\ \text{kW}) è dissipata in attriti meccanici e idraulici interni alla pompa.
7. Legge di Stokes — forza viscosa su una sfera
Esercizio. Una sferetta (r=0{,}50\ \text{mm}) si muove a v=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m/s} in glicerina (\mu=1{,}5\ \text{Pa·s}). Quale forza di resistenza viscosa?
F=6\pi\mu r v=6\pi\times1{,}5\times0{,}50\times10^{-3}\times2{,}0\times10^{-3}=2{,}83\times10^{-5}\ \text{N}.
8. Velocità limite di sedimentazione
Esercizio. Una sferetta (r=0{,}50\ \text{mm}, \rho_s=2500\ \text{kg/m}^3) cade in glicerina (\rho_f=1260\ \text{kg/m}^3, \mu=1{,}5\ \text{Pa·s}). Quale velocità limite?
Alla velocità limite il peso netto (peso meno Archimede) bilancia l’attrito di Stokes:
v_\text{lim}=\dfrac{2r^2 g(\rho_s-\rho_f)}{9\mu}=\dfrac{2\times(5{,}0\times10^{-4})^2\times9{,}8\times(2500-1260)}{9\times1{,}5}.
v_\text{lim}=\dfrac{6{,}076\times10^{-3}}{13{,}5}=4{,}5\times10^{-4}\ \text{m/s}\approx0{,}45\ \text{mm/s}.
9. Validità di Stokes (Reynolds della sfera)
Esercizio. Verificare che la legge di Stokes valga per la sferetta precedente (v=4{,}5\times10^{-4}\ \text{m/s}, D=1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}, glicerina \rho_f=1260, \mu=1{,}5).
La legge di Stokes vale per Re<1 (forze viscose dominanti):
Re=\dfrac{\rho_f v D}{\mu}=\dfrac{1260\times4{,}5\times10^{-4}\times1{,}0\times10^{-3}}{1{,}5}=3{,}8\times10^{-4}.
Re\ll1: pienamente nel regime di Stokes, la legge è applicabile. ✓
10. Resistenza aerodinamica in regime turbolento
Esercizio. Una sfera (r=5{,}0\ \text{cm}) si muove a v=20\ \text{m/s} in aria (\rho=1{,}2\ \text{kg/m}^3, C_D=0{,}47). Quale forza di resistenza?
Ad alti Re la resistenza è quadratica in v, non più lineare (Stokes non vale):
F_D=\dfrac{1}{2}\rho v^2 C_D A,\qquad A=\pi r^2=\pi(0{,}050)^2=7{,}85\times10^{-3}\ \text{m}^2.
F_D=\dfrac{1}{2}\times1{,}2\times20^2\times0{,}47\times7{,}85\times10^{-3}=0{,}886\ \text{N}.
11. Velocità limite in aria (regime turbolento)
Esercizio. Una grandine sferica (r=1{,}0\ \text{cm}, \rho_s=900\ \text{kg/m}^3) cade in aria (\rho=1{,}2\ \text{kg/m}^3, C_D=0{,}47). Quale velocità limite?
Alla velocità limite la resistenza aerodinamica eguaglia il peso (\dfrac{1}{2}\rho v^2 C_D A=mg); con m=\rho_s\dfrac{4}{3}\pi r^3 e A=\pi r^2 si ottiene:
Circa 73\ \text{km/h}: in regime turbolento v_\text{lim}\propto\sqrt{r}, non \propto r^2 come in Stokes.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Darcy-Weisbach | h_f=f\,(L/D)\,v^2/(2g) |
| Attrito laminare | f=64/Re |
| Perdite concentrate | \displaystyle h_L=\sum K\,v^2/(2g) |
| Prevalenza pompa | H=\Delta z+h_\text{tot} |
| Potenza all’asse | P_\text{asse}=\rho QgH/\eta |
| Legge di Stokes | F=6\pi\mu r v (valida Re<1) |
| Velocità limite (Stokes) | v_\text{lim}=2r^2g(\rho_s-\rho_f)/(9\mu) |
| Resistenza turbolenta | F_D=\dfrac{1}{2}\rho v^2 C_D A |
Errori da evitare:
- applicare la legge di Stokes fuori dal regime Re<1: ad alti Re la resistenza è quadratica in v;
- trascurare la spinta di Archimede nel calcolo della velocità limite;
- dimenticare le perdite concentrate o quelle distribuite nel bilancio della pompa;
- confondere potenza idraulica e potenza all’asse (divisa per il rendimento \eta);
- usare la dipendenza v_\text{lim}\propto r^2 (Stokes) in aria, dove vale invece v_\text{lim}\propto\sqrt r (regime turbolento).