Il principio di Pascal afferma che una variazione di pressione applicata a un fluido confinato si trasmette inalterata a ogni punto del fluido e alle pareti. Su due pistoni collegati questo dà p_1=p_2, cioè
\dfrac{F_1}{A_1}=\dfrac{F_2}{A_2}.
I manometri misurano differenze di pressione dal dislivello di una colonna di liquido, secondo la legge di Stevin \Delta p=\rho g\,\Delta h. Il manometro più diffuso usa mercurio (\rho=13\,600\ \text{kg/m}^3); 1\ \text{mmHg}=133{,}3\ \text{Pa}.
1. Torchio idraulico — forza moltiplicata
Esercizio. Un torchio idraulico ha pistoni di sezione A_1=5{,}0\ \text{cm}^2 e A_2=250\ \text{cm}^2. Quale forza F_1 serve sul pistone piccolo per sollevare un’auto di m=1500\ \text{kg}?
Passo 1 — pressione uguale (Pascal). F_1/A_1=F_2/A_2.
Passo 2 — peso da sollevare. F_2=mg=1500\times9{,}8=14\,700\ \text{N}.
Passo 3 — forza richiesta.
F_1=F_2\dfrac{A_1}{A_2}=14\,700\times\dfrac{5{,}0}{250}=294\ \text{N}.
Il torchio moltiplica la forza di A_2/A_1=50 volte.
2. Torchio idraulico — conservazione del lavoro
Esercizio. Per sollevare l’auto precedente di h_2=10\ \text{cm}, di quanto deve scendere il pistone piccolo, e quanto lavoro compie?
Passo 1 — conservazione del volume (A_1 h_1=A_2 h_2):
h_1=h_2\dfrac{A_2}{A_1}=0{,}10\times\dfrac{250}{5{,}0}=5{,}0\ \text{m}.
Passo 2 — lavoro (uguale ai due lati: il torchio moltiplica la forza ma non l’energia):
W=F_1 h_1=294\times5{,}0=1470\ \text{J}=F_2 h_2=14\,700\times0{,}10.\ \checkmark
Il torchio scambia forza con spostamento: il lavoro si conserva.
3. Pressione aggiuntiva su un fluido confinato
Esercizio. Su un pistone (A=20\ \text{cm}^2) che chiude un cilindro pieno d’acqua si appoggia un peso F=400\ \text{N}. Di quanto aumenta la pressione sul fondo del cilindro?
Per Pascal l’incremento si trasmette inalterato a tutto il fluido:
\Delta p=\dfrac{F}{A}=\dfrac{400}{20\times10^{-4}}=2{,}0\times10^5\ \text{Pa}.
Questo si aggiunge alla pressione idrostatica \rho gh già presente sul fondo.
4. Manometro a U — pressione relativa
Esercizio. Un manometro a U a mercurio (\rho=13\,600\ \text{kg/m}^3) collegato a un recipiente di gas mostra un dislivello \Delta h=15\ \text{cm} (ramo del gas più basso). Quale pressione relativa del gas?
p_\text{rel}=\rho g\,\Delta h=13\,600\times9{,}8\times0{,}15=19\,992\ \text{Pa}\approx2{,}0\times10^4\ \text{Pa}.
Equivale a \approx150\ \text{mmHg}. Il gas è in sovrapressione rispetto all’atmosfera.
5. Manometro a U — pressione assoluta del gas
Esercizio. Per il gas precedente (p_\text{rel}=2{,}0\times10^4\ \text{Pa}), quale pressione assoluta se p_0=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}?
p_\text{ass}=p_0+p_\text{rel}=1{,}013\times10^5+0{,}20\times10^5=1{,}213\times10^5\ \text{Pa}.
Se il livello fosse stato invertito (gas in depressione) si sarebbe sottratto \rho g\Delta h.
6. Manometro a U con liquido d’opera diverso
Esercizio. Un manometro a U misura la pressione in una tubazione d’acqua usando olio (\rho_\text{man}=820\ \text{kg/m}^3) come liquido manometrico, con dislivello \Delta h=40\ \text{cm}. Quale Δp misura?
\Delta p=\rho_\text{man}\,g\,\Delta h=820\times9{,}8\times0{,}40=3214\ \text{Pa}\approx3{,}2\times10^3\ \text{Pa}.
Liquido manometrico meno denso → dislivello più ampio a parità di Δp → lettura più sensibile.
7. Manometro differenziale
Esercizio. Un manometro differenziale a mercurio collega due punti di una conduttura mostrando un dislivello \Delta h=8{,}0\ \text{cm}. Quale differenza di pressione tra i due punti?
\Delta p=\rho g\,\Delta h=13\,600\times9{,}8\times0{,}080=10\,662\ \text{Pa}\approx1{,}1\times10^4\ \text{Pa}.
Il manometro differenziale misura direttamente p_A-p_B senza riferimento all’atmosfera.
8. Manometro inclinato
Esercizio. Un manometro inclinato di \alpha=20° sull’orizzontale usa un liquido (\rho=820\ \text{kg/m}^3). Per una pressione p=200\ \text{Pa}, quale spostamento L del menisco lungo il tubo?
L’altezza verticale è h=L\sin\alpha, quindi p=\rho g L\sin\alpha:
L’inclinazione amplifica la lettura (7{,}3\ \text{cm} invece di 2{,}5\ \text{cm} verticali): più sensibile per piccole pressioni.
9. Barometro di Torricelli
Esercizio. A quale altezza sale il mercurio (\rho=13\,600\ \text{kg/m}^3) in un barometro con pressione atmosferica p_0=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}?
Sopra il mercurio c’è il vuoto, quindi p_0=\rho g h:
h=\dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{1{,}013\times10^5}{13\,600\times9{,}8}=0{,}760\ \text{m}=760\ \text{mm}.
Il classico valore di 760\ \text{mmHg} a livello del mare.
10. Barometro ad acqua
Esercizio. Quale altezza dovrebbe avere un barometro che usa acqua (\rho=1000\ \text{kg/m}^3) invece del mercurio, alla stessa pressione p_0=1{,}013\times10^5\ \text{Pa}?
h=\dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{1{,}013\times10^5}{1000\times9{,}8}=10{,}3\ \text{m}.
Servirebbe un tubo alto 10{,}3\ \text{m}: per questo si usa il mercurio, 13{,}6 volte più denso, che richiede solo 0{,}76\ \text{m}. È anche il motivo per cui una pompa aspirante non solleva l’acqua oltre \sim10\ \text{m}.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Principio di Pascal | F_1/A_1=F_2/A_2 |
| Conservazione volume (torchio) | A_1 h_1=A_2 h_2 |
| Conservazione lavoro | F_1 h_1=F_2 h_2 |
| Manometro / barometro | \Delta p=\rho g\,\Delta h |
| Manometro inclinato | p=\rho g L\sin\alpha |
| 1\ \text{atm} | 760\ \text{mmHg}=10{,}3\ \text{m H}_2\text{O} |
Errori da evitare:
- credere che il torchio moltiplichi l’energia: moltiplica la forza ma il pistone piccolo compie una corsa proporzionalmente più lunga (lavoro conservato);
- confondere pressione relativa e assoluta nelle letture del manometro (sommare o no p_0 a seconda della richiesta);
- usare la densità sbagliata: nel manometro conta la densità del liquido manometrico, non del fluido in misura;
- nel manometro inclinato, dimenticare il fattore \sin\alpha tra lettura sul tubo e altezza verticale.