Ottica geometrica: riflessione e rifrazione

L’indice di rifrazione di un mezzo è $n=c/v$ , rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e nel mezzo. Alla riflessione l’angolo riflesso uguaglia l’angolo incidente. Alla rifrazione vale la legge di Snell:

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$

Passando a un mezzo meno rifrangente ( $n_2<n_1$ ) il raggio si allontana dalla normale e, oltre l’angolo limite $\theta_L$ (con $\sin\theta_L=n_2/n_1$ ), si ha riflessione totale. Tutti gli angoli si misurano rispetto alla normale alla superficie.

1. Indice di rifrazione e velocità nel mezzo

Esercizio. Nel vetro la luce viaggia a $v=2{,}0\times10^8\ \text{m/s}$ . Quale indice di rifrazione ( $c=3{,}0\times10^8\ \text{m/s}$ )?

$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3{,}0\times10^8}{2{,}0\times10^8}=1{,}5.$

2. Legge di Snell — rifrazione aria-vetro

Esercizio. Un raggio incide dall’aria ( $n_1=1{,}00$ ) sul vetro ( $n_2=1{,}50$ ) con angolo $\theta_1=40°$ . Quale angolo di rifrazione?

Da $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$ :

\begin{aligned} \sin\theta_2 &=\dfrac{n_1\sin\theta_1}{n_2}\\ &=\dfrac{1{,}00\times\sin40°}{1{,}50}\\ &=\dfrac{0{,}643}{1{,}50} =0{,}428,\\ \theta_2&=25{,}4°. \end{aligned}

Entrando nel mezzo più denso, il raggio si avvicina alla normale.

3. Rifrazione in uscita vetro-aria

Esercizio. Un raggio nel vetro ( $n_1=1{,}50$ ) incide sulla superficie con l’aria ( $n_2=1{,}00$ ) a $\theta_1=30°$ . Quale angolo in aria?

\begin{aligned} \sin\theta_2 &=\dfrac{1{,}50\times\sin30°}{1{,}00}\\ &=1{,}50\times0{,}5 =0{,}75,\\ \theta_2&=48{,}6°. \end{aligned}

Uscendo verso il mezzo meno denso, il raggio si allontana dalla normale.

4. Angolo limite e riflessione totale

Esercizio. Quale angolo limite per il passaggio vetro ( $n_1=1{,}50$ ) → aria ( $n_2=1{,}00$ )?

\begin{aligned} \sin\theta_L &=\dfrac{n_2}{n_1}\\ &=\dfrac{1{,}00}{1{,}50} =0{,}667,\\ \theta_L&=41{,}8°. \end{aligned}

Oltre $41{,}8°$ la luce non esce: viene totalmente riflessa (principio delle fibre ottiche).

5. Angolo limite acqua-aria

Esercizio. Quale angolo limite per acqua ( $n_1=1{,}33$ ) → aria? È questo il motivo per cui un subacqueo vede il mondo esterno in un “cono”.

\begin{aligned} \sin\theta_L &=\dfrac{1{,}00}{1{,}33} =0{,}752,\\ \theta_L&=48{,}8°. \end{aligned}

Tutto il panorama sopra l’acqua è compresso in un cono di semiapertura $\approx49°$ (finestra di Snell).

6. Profondità apparente

Esercizio. Una moneta giace sul fondo di una piscina profonda $h=2{,}0\ \text{m}$ ( $n=1{,}33$ ). A quale profondità apparente la vede un osservatore dall’alto (visione quasi verticale)?

Per osservazione vicina alla verticale la profondità apparente è $h'=h/n$ :

$h'=\dfrac{h}{n}=\dfrac{2{,}0}{1{,}33}=1{,}50\ \text{m}.$

L’acqua “solleva” gli oggetti: la moneta appare più vicina alla superficie.

7. Lamina a facce piane parallele — spostamento

Esercizio. Un raggio incide a $\theta_1=50°$ su una lastra di vetro ( $n=1{,}50$ ) spessa $d=4{,}0\ \text{cm}$ . Di quanto è spostato lateralmente il raggio in uscita?

Passo 1 — angolo di rifrazione interno.

\begin{aligned} \sin\theta_2 &=\dfrac{\sin50°}{1{,}50}\\ &=\dfrac{0{,}766}{1{,}50} =0{,}511,\\ \theta_2&=30{,}7°. \end{aligned}

Passo 2 — spostamento laterale (il raggio esce parallelo a sé stesso):

\begin{aligned} s &=d\,\dfrac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}\\ &=4{,}0\times\dfrac{\sin(50°-30{,}7°)}{\cos30{,}7°}\\ &=4{,}0\times\dfrac{\sin19{,}3°}{0{,}860}\\ &=4{,}0\times\dfrac{0{,}330}{0{,}860}\\ &=1{,}54\ \text{cm}. \end{aligned}

8. Prisma — angolo di deviazione

Esercizio. Un prisma di vetro ( $n=1{,}50$ ) ha angolo al vertice $A=60°$ . Per incidenza simmetrica (deviazione minima), quale angolo di deviazione $D$ ?

Nel minimo di deviazione vale $n=\dfrac{\sin\dfrac{A+D}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}$ . Risolvendo per $D$ :

\begin{aligned} \sin\dfrac{A+D}{2} &=n\sin\dfrac{A}{2}\\ &=1{,}50\times\sin30° =0{,}75,\\ \dfrac{A+D}{2}&=48{,}6°. \end{aligned}

$D=2\times48{,}6°-A=97{,}2°-60°=37{,}2°.$

9. Dispersione cromatica nel prisma

Esercizio. Lo stesso prisma ( $A=60°$ ) ha indice $n_\text{rosso}=1{,}50$ e $n_\text{viola}=1{,}53$ . Quale differenza di deviazione minima tra i due colori?

Per il viola:

\begin{aligned} \sin\dfrac{A+D}{2} &=1{,}53\times0{,}5 =0{,}765,\\ \dfrac{A+D}{2}&=49{,}9°,\\ D_\text{viola} &=2\times49{,}9°-60°\\ &=39{,}8°. \end{aligned}

$\Delta D=D_\text{viola}-D_\text{rosso}=39{,}8°-37{,}2°=2{,}6°.$

Il viola devia di più: il prisma separa i colori (dispersione, base dello spettroscopio).

10. Specchio piano — immagini multiple tra due specchi

Esercizio. Due specchi piani formano un angolo $\alpha=60°$ . Quante immagini di un oggetto posto tra essi?

Il numero di immagini è $N=\dfrac{360°}{\alpha}-1$ :

$N=\dfrac{360°}{60°}-1=6-1=5.$

Per $\alpha=90°$ si avrebbero $3$ immagini, per $\alpha=45°$ ben $7$ . Lo specchio piano dà immagini virtuali, dritte, della stessa dimensione e simmetriche rispetto al piano.

11. Angolo di Brewster

Esercizio. Calcolare l’angolo di Brewster per luce che passa da aria ( $n_1=1{,}00$ ) a vetro ( $n_2=1{,}50$ ).

All’angolo di Brewster il raggio riflesso e quello rifratto sono perpendicolari e la luce riflessa è polarizzata. Vale:

\tan\theta_B=\dfrac{n_2}{n_1}.

Quindi:

\theta_B=\arctan\dfrac{1{,}50}{1{,}00}=56{,}3°.

Questo angolo è misurato rispetto alla normale. È importante in fotografia, ottica laser e trattamento antiriflesso perché descrive quando una componente di polarizzazione non viene riflessa.

12. Apertura numerica di una fibra ottica

Esercizio. Una fibra ha nucleo con $n_1=1{,}48$ e mantello con $n_2=1{,}46$ . Calcolare l’apertura numerica in aria e l’angolo massimo di accettazione.

Per una fibra in aria:

\text{NA}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}.

Numericamente:

\text{NA}=\sqrt{1{,}48^2-1{,}46^2} =\sqrt{2{,}1904-2{,}1316} =\sqrt{0{,}0588} =0{,}242.

L’angolo massimo di accettazione in aria soddisfa $\sin\theta_\text{max}=\text{NA}$ :

\theta_\text{max}=\arcsin(0{,}242)=14{,}0°.

Solo i raggi che entrano entro questo cono restano guidati per riflessione totale interna. Un’apertura numerica maggiore facilita l’accoppiamento della luce ma aumenta in genere la dispersione modale nelle fibre multimodali.

13. Cammino ottico e ritardo in una lastra

Esercizio. Un fascio attraversa normalmente una lastra di vetro spessa $L=5{,}0\ \text{cm}$ con $n=1{,}50$ . Quanto tempo impiega nella lastra e quale ritardo accumula rispetto al vuoto?

La velocità nel mezzo è $v=c/n$ , quindi il tempo di attraversamento è:

t=\dfrac{L}{v}=\dfrac{nL}{c}.