L’ottica fisica tratta i fenomeni che rivelano la natura ondulatoria della luce. Nell’interferenza due onde coerenti si sommano: si ha massimo (costruttiva) quando la differenza di cammino è multiplo intero di \lambda, minimo (distruttiva) quando è multiplo dispari di \lambda/2. Nell’esperimento di Young (doppia fenditura, separazione d, schermo a distanza L) le frange sono distanziate di \Delta x=\lambda L/d. Il reticolo soddisfa d\sin\theta=m\lambda. La polarizzazione segue la legge di Malus I=I_0\cos^2\theta.
1. Esperimento di Young — distanza tra le frange
Esercizio. Due fenditure distanti d=0{,}20\ \text{mm} sono illuminate da luce \lambda=600\ \text{nm}; lo schermo è a L=2{,}0\ \text{m}. Quale distanza tra frange chiare consecutive?
2. Posizione del massimo di ordine m
Esercizio. Per lo stesso apparato, a quale distanza dal centro si trova il terzo massimo (m=3)?
La posizione dei massimi è x_m=m\,\Delta x:
x_3=3\times6{,}0=18\ \text{mm}.
I minimi si trovano a metà tra i massimi, in x=(m+\dfrac{1}{2})\Delta x.
3. Lunghezza d’onda da una misura di frange
Esercizio. In un esperimento di Young (d=0{,}30\ \text{mm}, L=1{,}5\ \text{m}) le frange distano \Delta x=2{,}65\ \text{mm}. Quale lunghezza d’onda?
Invertendo \Delta x=\lambda L/d:
4. Interferenza da lamina sottile
Esercizio. Una pellicola di sapone (n=1{,}33) appare verde brillante in riflessione a \lambda=510\ \text{nm}. Quale spessore minimo?
Per riflessione costruttiva con un’inversione di fase (riflessione sul mezzo più denso): 2nt=(m+\dfrac{1}{2})\lambda. Spessore minimo (m=0):
t=\dfrac{\lambda}{4n}=\dfrac{510\times10^{-9}}{4\times1{,}33}=9{,}59\times10^{-8}\ \text{m}\approx96\ \text{nm}.
È il meccanismo dei colori iridescenti di bolle e macchie d’olio.
5. Anelli di Newton
Esercizio. Una lente piano-convessa (R=2{,}0\ \text{m}) appoggiata su una lastra piana forma anelli di Newton con luce \lambda=589\ \text{nm}. Quale raggio del terzo anello scuro (m=3)?
Gli anelli scuri (interferenza distruttiva nel cuneo d’aria) hanno raggio r_m=\sqrt{m\lambda R}:
r_3=\sqrt{3\times589\times10^{-9}\times2{,}0}=\sqrt{3{,}53\times10^{-6}}=1{,}88\times10^{-3}\ \text{m}\approx1{,}9\ \text{mm}.
6. Diffrazione da fenditura singola — primo minimo
Esercizio. Una fenditura larga a=0{,}10\ \text{mm} è illuminata da \lambda=550\ \text{nm}. A quale angolo il primo minimo di diffrazione?
I minimi soddisfano a\sin\theta=m\lambda. Per m=1:
\sin\theta=\dfrac{\lambda}{a}=\dfrac{550\times10^{-9}}{0{,}10\times10^{-3}}=5{,}5\times10^{-3}\ \Rightarrow\ \theta=0{,}315°.
7. Larghezza del massimo centrale
Esercizio. Per la fenditura precedente (a=0{,}10\ \text{mm}, \lambda=550\ \text{nm}), quale larghezza del massimo centrale su uno schermo a L=3{,}0\ \text{m}?
Il massimo centrale è largo il doppio della distanza al primo minimo (w=2L\lambda/a in approssimazione di piccoli angoli):
w=2L\dfrac{\lambda}{a}=2\times3{,}0\times5{,}5\times10^{-3}=3{,}3\times10^{-2}\ \text{m}=3{,}3\ \text{cm}.
Più stretta la fenditura, più larga la figura di diffrazione.
8. Reticolo di diffrazione — angolo del primo ordine
Esercizio. Un reticolo ha 500\ \text{linee/mm} ed è illuminato da \lambda=633\ \text{nm} (laser He-Ne). A quale angolo il primo ordine?
Passo 1 — passo del reticolo. d=1/(500\ \text{mm}^{-1})=2{,}0\times10^{-6}\ \text{m}.
Passo 2 — equazione del reticolo (d\sin\theta=m\lambda, m=1):
\sin\theta=\dfrac{\lambda}{d}=\dfrac{633\times10^{-9}}{2{,}0\times10^{-6}}=0{,}3165\ \Rightarrow\ \theta=18{,}5°.
9. Numero massimo di ordini di un reticolo
Esercizio. Per il reticolo precedente (d=2{,}0\times10^{-6}\ \text{m}, \lambda=633\ \text{nm}), quanti ordini si osservano?
Il massimo ordine si ha per \sin\theta\le1, cioè m\le d/\lambda:
m_\text{max}=\dfrac{d}{\lambda}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{633\times10^{-9}}=3{,}16\ \Rightarrow\ m_\text{max}=3.
Si vedono gli ordini 0,\pm1,\pm2,\pm3 (l’ordine 4 cadrebbe oltre 90°).
10. Polarizzazione — legge di Malus e angolo di Brewster
Esercizio. (a) Luce polarizzata di intensità I_0 attraversa un polaroid ruotato di \theta=30° rispetto all’asse: quale intensità trasmessa? (b) Quale angolo di Brewster per riflessione aria-vetro (n=1{,}50)?
(a) Legge di Malus.
I=I_0\cos^2\theta=I_0\cos^2 30°=I_0\times(0{,}866)^2=0{,}75\,I_0.
(b) Angolo di Brewster (riflessione completamente polarizzata, \tan\theta_B=n):
\theta_B=\arctan(1{,}50)=56{,}3°.
A quell’angolo la luce riflessa è totalmente polarizzata (principio degli occhiali polarizzati anti-riflesso).
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Frange di Young | \Delta x=\lambda L/d |
| Massimi (Young) | x_m=m\,\Delta x |
| Lamina sottile (costruttiva, 1 inversione) | 2nt=(m+\dfrac{1}{2})\lambda |
| Anelli di Newton (scuri) | r_m=\sqrt{m\lambda R} |
| Fenditura singola (minimi) | a\sin\theta=m\lambda |
| Reticolo (massimi) | d\sin\theta=m\lambda |
| Legge di Malus | I=I_0\cos^2\theta |
| Angolo di Brewster | \tan\theta_B=n |
Errori da evitare:
- invertire la condizione di massimo/minimo: per la fenditura singola a\sin\theta=m\lambda dà i minimi, per il reticolo dà i massimi;
- dimenticare l’inversione di fase (\lambda/2) nelle lamine sottili, che scambia costruttiva e distruttiva;
- usare la larghezza della fenditura a al posto del passo del reticolo d (e viceversa);
- nella legge di Malus, dimenticare il quadrato del coseno;
- nel reticolo, trascurare il limite \sin\theta\le1 che fissa il numero di ordini visibili.