Onde meccaniche su una corda: esercizi svolti

Un’onda meccanica trasversale su una corda si propaga con velocità che dipende dalla tensione $T$ e dalla densità lineare $\mu=m/L$ :

$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.$

Un’onda armonica progressiva si descrive con $y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)$ , dove $k=2\pi/\lambda$ è il numero d’onda e $\omega=2\pi f$ la pulsazione. Valgono le relazioni fondamentali $v=\lambda f=\omega/k$ e $T=1/f$ . Da non confondere la velocità di propagazione $v$ (costante) con la velocità trasversale del singolo punto della corda.

1. Velocità di propagazione su una corda

Esercizio. Una corda di massa $m=40\ \text{g}$ e lunghezza $L=2{,}0\ \text{m}$ è tesa con $T=80\ \text{N}$ . Quale velocità di propagazione?

Passo 1 — densità lineare. $\mu=m/L=0{,}040/2{,}0=0{,}020\ \text{kg/m}$ .

Passo 2 — velocità.

$v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{80}{0{,}020}}=\sqrt{4000}=63{,}2\ \text{m/s}.$

2. Tensione per una data velocità

Esercizio. Quale tensione serve perché su una corda ( $\mu=5{,}0\times10^{-3}\ \text{kg/m}$ ) un’onda viaggi a $v=100\ \text{m/s}$ ?

Invertendo $v=\sqrt{T/\mu}$ :

$T=\mu v^2=5{,}0\times10^{-3}\times100^2=5{,}0\times10^{-3}\times10^4=50\ \text{N}.$

Per raddoppiare la velocità serve quadruplicare la tensione ( $v\propto\sqrt T$ ).

3. Lunghezza d’onda, frequenza, periodo

Esercizio. Un’onda su una corda viaggia a $v=63{,}2\ \text{m/s}$ con frequenza $f=120\ \text{Hz}$ . Quale lunghezza d’onda e quale periodo?

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{63{,}2}{120}=0{,}527\ \text{m},\qquad T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{120}=8{,}33\times10^{-3}\ \text{s}.$

4. Numero d’onda e pulsazione

Esercizio. Per l’onda precedente ( $\lambda=0{,}527\ \text{m}$ , $f=120\ \text{Hz}$ ), calcolare $k$ e $\omega$ e scrivere $y(x,t)$ con ampiezza $A=4{,}0\ \text{mm}$ .

Passo 1. $k=2\pi/\lambda=2\pi/0{,}527=11{,}9\ \text{rad/m}$ ; $\omega=2\pi f=2\pi\times120=754\ \text{rad/s}$ .

Passo 2 — equazione d’onda (progressiva nel verso $+x$ ):

$y(x,t)=4{,}0\times10^{-3}\sin(11{,}9\,x-754\,t)\ \text{[m]}.$

5. Lettura dei parametri da un’equazione d’onda

Esercizio. Data $y(x,t)=0{,}02\sin(6{,}28\,x-314\,t)$ (SI), trovare $\lambda$ , $f$ e $v$ .

Confrontando con $A\sin(kx-\omega t)$ : $k=6{,}28\ \text{rad/m}$ , $\omega=314\ \text{rad/s}$ .

\begin{aligned} \lambda&=\dfrac{2\pi}{k} =\dfrac{6{,}28}{6{,}28} =1{,}0\ \text{m},\\ f&=\dfrac{\omega}{2\pi} =\dfrac{314}{6{,}28} =50\ \text{Hz},\\ v&=\dfrac{\omega}{k} =\dfrac{314}{6{,}28} =50\ \text{m/s}. \end{aligned}

6. Velocità trasversale massima

Esercizio. Per l’onda dell’esercizio 4 ( $A=4{,}0\ \text{mm}$ , $\omega=754\ \text{rad/s}$ ), quale velocità trasversale massima di un punto della corda?

La velocità trasversale è $v_y=\partial y/\partial t=-A\omega\cos(kx-\omega t)$ , massima in modulo $A\omega$ :

$v_{y,\text{max}}=A\omega=4{,}0\times10^{-3}\times754=3{,}02\ \text{m/s}.$

Da non confondere con la velocità di propagazione ( $63{,}2\ \text{m/s}$ ): sono grandezze diverse.

7. Accelerazione trasversale massima

Esercizio. Per la stessa onda, quale accelerazione trasversale massima?

$a_{y,\text{max}}=A\omega^2=4{,}0\times10^{-3}\times754^2=4{,}0\times10^{-3}\times5{,}69\times10^5=2275\ \text{m/s}^2.$

8. Potenza trasportata da un’onda

Esercizio. Una corda ( $\mu=0{,}020\ \text{kg/m}$ ) trasmette un’onda con $A=5{,}0\ \text{mm}$ , $\omega=600\ \text{rad/s}$ , $v=50\ \text{m/s}$ . Quale potenza media?

La potenza media trasportata da un’onda armonica è $P=\dfrac{1}{2}\mu\,v\,\omega^2 A^2$ :

\begin{aligned} P&=\dfrac{1}{2}\times0{,}020\times50\times600^2\times(5{,}0\times10^{-3})^2\\ &=\dfrac{1}{2}\times0{,}020\times50\times3{,}6\times10^5\times2{,}5\times10^{-5}\\ &=\dfrac{1}{2}\times0{,}020\times50\times9{,}0\\ &=4{,}5\ \text{W}. \end{aligned}

La potenza cresce col quadrato di ampiezza e frequenza.

9. Effetto della densità su due corde unite

Esercizio. Due corde di densità $\mu_1=0{,}010\ \text{kg/m}$ e $\mu_2=0{,}040\ \text{kg/m}$ sono unite e tese con la stessa tensione $T=90\ \text{N}$ . Confrontare le velocità nelle due tratte.

$v_1=\sqrt{\dfrac{90}{0{,}010}}=\sqrt{9000}=94{,}9\ \text{m/s},\qquad v_2=\sqrt{\dfrac{90}{0{,}040}}=\sqrt{2250}=47{,}4\ \text{m/s}.$

Nella corda più densa l’onda è più lenta ( $v_2=v_1/2$ , perché $\mu_2=4\mu_1$ ). La frequenza si conserva al passaggio, quindi $\lambda$ si dimezza nella corda densa.

10. Tempo di percorrenza lungo una corda

Esercizio. Quanto impiega un impulso a percorrere una corda lunga $L=12\ \text{m}$ ( $\mu=8{,}0\times10^{-3}\ \text{kg/m}$ , $T=200\ \text{N}$ )?

Passo 1 — velocità. $v=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{200/8{,}0\times10^{-3}}=\sqrt{25\,000}=158\ \text{m/s}$ .

Passo 2 — tempo. $t=L/v=12/158=0{,}076\ \text{s}\approx76\ \text{ms}$ .

11. Direzione di propagazione dal segno

Esercizio. L’onda $y(x,t)=A\sin(kx+\omega t)$ si propaga verso $+x$ o verso $-x$ ?

Un’onda progressiva verso $+x$ ha fase del tipo:

kx-\omega t=\text{costante}.

Infatti, se il tempo aumenta, $x$ deve aumentare per mantenere costante la fase.

Nel caso:

kx+\omega t=\text{costante} \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\omega}{k}t+\text{costante}.

All’aumentare del tempo, $x$ diminuisce. L’onda si propaga quindi verso $-x$ .

Il segno davanti a $\omega t$ è un’informazione fisica, non una convenzione trascurabile.

12. Riflessione su estremo fisso e libero

Esercizio. Un impulso su una corda raggiunge un estremo fisso. Come si riflette? E su un estremo libero?

Su un estremo fisso lo spostamento deve restare nullo al vincolo. L’impulso riflesso è invertito di fase:

y_\text{riflesso}=-y_\text{incidente}.

Su un estremo libero, l’estremo può muoversi e la riflessione non inverte lo spostamento:

y_\text{riflesso}=+y_\text{incidente}.

Questa differenza spiega perché le condizioni al contorno determinano nodi o ventri nelle onde stazionarie.

13. Impedenza meccanica della corda

Esercizio. Due corde hanno la stessa tensione ma densità lineari diverse. Quale grandezza controlla quanta onda viene riflessa alla giunzione?

Per onde trasversali su corda, l’analogo dell’impedenza è:

Z_m=\sqrt{T\mu}.

Se due corde hanno impedenze meccaniche uguali, non c’è riflessione; se sono diverse, una parte dell’onda viene riflessa e una parte trasmessa. A parità di tensione, la corda più densa ha impedenza maggiore.

Questo completa il solo confronto delle velocità: al passaggio tra corde cambiano velocità, lunghezza d’onda e anche ampiezze riflesse/trasmesse.

Sintesi

Concetto	Formula
Velocità su corda	$v=\sqrt{T/\mu}$
Densità lineare	$\mu=m/L$
Relazioni fondamentali	$v=\lambda f=\omega/k$
Numero d’onda / pulsazione	$k=2\pi/\lambda$ , $\omega=2\pi f$
Velocità trasversale max	$v_{y,\text{max}}=A\omega$
Potenza trasportata	$P=\dfrac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2$
Impedenza meccanica corda	$Z_m=\sqrt{T\mu}$

Errori da evitare:

confondere la velocità di propagazione $v$ (costante, dipende da $T$ e $\mu$ ) con la velocità trasversale del punto ( $A\omega$ );
dimenticare la radice: $v\propto\sqrt T$ , quindi per raddoppiare $v$ serve $4T$ ;
nel passaggio tra due corde, credere che cambi la frequenza (si conserva $f$ ; cambiano $v$ e $\lambda$ );
dimenticare il quadrato di $A$ e $\omega$ nella potenza trasportata.
leggere male il verso di propagazione dal segno della fase;
confondere riflessione su estremo fisso e libero.