Le onde elettromagnetiche sono campi elettrici e magnetici oscillanti che si propagano nel vuoto alla velocità della luce:
c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}.
Sono trasversali: \vec{E} e \vec{B} sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione. I loro moduli sono legati da:
E=cB.
Frequenza e lunghezza d’onda soddisfano c=\lambda f. In un mezzo con indice di rifrazione n, la velocità si riduce: v=c/n.
1. Lunghezza d’onda da frequenza
Esercizio. Un’onda radio ha frequenza f=100\ \text{MHz}. Calcolare la lunghezza d’onda nel vuoto.
\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{100\times10^6}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{1{,}00\times10^8}=3{,}0\ \text{m}.
2. Frequenza da lunghezza d’onda
Esercizio. La luce verde ha \lambda=550\ \text{nm}. Calcolare la frequenza.
f=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{550\times10^{-9}}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{5{,}50\times10^{-7}}=5{,}45\times10^{14}\ \text{Hz}.
3. Relazione E-B
Esercizio. In un’onda EM il campo elettrico ha ampiezza E_0=600\ \text{V/m}. Calcolare l’ampiezza del campo magnetico.
B_0=\dfrac{E_0}{c}=\dfrac{600}{3{,}00\times10^8}=2{,}0\times10^{-6}\ \text{T}=2{,}0\ \mu\text{T}.
Il campo magnetico è numericamente molto più piccolo (diviso per c).
4. Campo elettrico da campo magnetico
Esercizio. Un’onda EM ha B_0=5{,}0\times10^{-8}\ \text{T}. Quale ampiezza del campo elettrico?
E_0=cB_0=3{,}00\times10^8\times5{,}0\times10^{-8}=15\ \text{V/m}.
5. Velocità in un mezzo
Esercizio. La luce entra nell’acqua (n=1{,}33). Quale velocità di propagazione?
v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{1{,}33}=2{,}26\times10^8\ \text{m/s}.
La luce rallenta nei mezzi materiali (ma in frequenza resta uguale; cambia \lambda).
6. Lunghezza d’onda in un mezzo
Esercizio. La luce verde (\lambda_0=550\ \text{nm} nel vuoto) entra nell’acqua (n=1{,}33). Quale lunghezza d’onda nell’acqua?
La frequenza non cambia, la lunghezza d’onda si riduce di n:
\lambda=\dfrac{\lambda_0}{n}=\dfrac{550}{1{,}33}=414\ \text{nm}.
7. Tempo di propagazione
Esercizio. Quanto tempo impiega la luce del Sole a raggiungere la Terra (distanza 1{,}5\times10^{11}\ \text{m})?
t=\dfrac{d}{c}=\dfrac{1{,}5\times10^{11}}{3{,}00\times10^8}=500\ \text{s}\approx8{,}3\ \text{minuti}.
8. Spettro elettromagnetico
Esercizio. Ordinare per frequenza crescente: onde radio, microonde, luce visibile, raggi X.
La frequenza cresce al diminuire della lunghezza d’onda. Ordine crescente di frequenza:
\text{radio}<\text{microonde}<\text{visibile}<\text{raggi X}.
Le onde radio hanno \lambda da metri a km; i raggi X \sim10^{-10}\ \text{m}. Tutte viaggiano a c nel vuoto, differiscono solo per frequenza/lunghezza d’onda.
9. Numero d’onda e pulsazione
Esercizio. Un’onda EM ha \lambda=2{,}0\ \text{m}. Calcolare numero d’onda k e pulsazione \omega.
Passo 1 — numero d’onda. k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{2{,}0}=3{,}14\ \text{rad/m}.
Passo 2 — frequenza e pulsazione. f=c/\lambda=3{,}00\times10^8/2{,}0=1{,}5\times10^8\ \text{Hz}; \omega=2\pi f=9{,}42\times10^8\ \text{rad/s}.
Verifica: c=\omega/k=9{,}42\times10^8/3{,}14=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}. ✓
10. Onda EM nel vuoto: perpendicolarità
Esercizio. In un’onda EM che si propaga lungo +x, il campo elettrico oscilla lungo y. In che direzione oscilla il campo magnetico?
In un’onda EM \vec{E}, \vec{B} e la direzione di propagazione formano una terna ortogonale destrorsa (\vec{E}\times\vec{B} punta nella direzione di propagazione). Con propagazione lungo +x ed \vec{E} lungo +y:
\vec{B}\ \text{oscilla lungo}\ +z.
I tre vettori sono mutuamente perpendicolari (onda trasversale).
11. Intensità media da campo elettrico
Esercizio. Un’onda elettromagnetica piana nel vuoto ha ampiezza del campo elettrico E_0=300\ \text{V/m}. Calcolare l’intensità media.
Per un’onda sinusoidale:
Sostituendo:
Calcolo:
L’intensità è proporzionale al quadrato del campo: raddoppiare E_0 quadruplica la potenza trasportata per unità d’area.
12. Pressione di radiazione su superficie assorbente
Esercizio. Un’onda con intensità I=1000\ \text{W/m}^2 incide su una superficie perfettamente assorbente. Calcolare la pressione di radiazione.
Per assorbimento completo:
Quindi:
Se la superficie fosse perfettamente riflettente, la quantità di moto trasferita sarebbe doppia e quindi
13. Energia di un fotone radio
Esercizio. Calcolare l’energia di un fotone di frequenza f=100\ \text{MHz} e confrontarla qualitativamente con un fotone visibile.
Usiamo
Quindi:
In elettronvolt:
Un fotone visibile ha energia dell’ordine di qualche eV: il fotone radio ha energia milioni di volte più piccola. Le onde radio trasportano energia macroscopica perché contengono enormi numeri di fotoni.
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Velocità nel vuoto | c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=3{,}00\times10^8\ \text{m/s} |
| Relazione c-\lambda-f | c=\lambda f |
| Relazione E-B | E=cB |
| Velocità in un mezzo | v=c/n |
| Lunghezza d’onda nel mezzo | \lambda=\lambda_0/n |
| Intensità media | I=\dfrac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2 |
| Pressione di radiazione | p=I/c assorbimento, 2I/c riflessione |
Onde EM: trasversali, \vec{E}\perp\vec{B}\perp direzione. Nel mezzo cambia \lambda, non f.
Errori da evitare:
- confondere il campo magnetico (B=E/c, piccolo) con quello elettrico;
- credere che la frequenza cambi entrando in un mezzo (cambia \lambda e v, non f);
- dimenticare che tutte le onde EM viaggiano a c nel vuoto, indipendentemente dalla frequenza.
- usare il campo di picco come se fosse già un valore efficace senza il fattore 1/2 nell’intensità media;
- confondere energia di un singolo fotone con potenza totale dell’onda.