Numero di Rayleigh

Il numero di Rayleigh $Ra$ è il numero adimensionale che quantifica l’intensità della convezione naturale (o libera) in un fluido riscaldato dal basso o a contatto con una superficie a temperatura diversa da quella del fluido indisturbato:

$$Ra = \frac{g \, \beta \, \Delta T \, L^3}{\nu \, \alpha} = Gr \cdot Pr$$

dove:

Simbolo	Grandezza	Unità SI
$g$	accelerazione di gravità	$\text{m/s}^2$
$\beta$	coefficiente di espansione termica del fluido	$\text{K}^{-1}$
$\Delta T$	differenza di temperatura tra superficie e fluido indisturbato	$\text{K}$
$L$	lunghezza caratteristica (es. altezza della parete, spessore dello strato)	$\text{m}$
$\nu$	viscosità cinematica	$\text{m}^2/\text{s}$
$\alpha$	diffusività termica del fluido $(\alpha = k / \rho c_p)$	$\text{m}^2/\text{s}$
$Gr$	numero di Grashof	—
$Pr$	numero di Prandtl	—

Per un gas ideale a temperatura assoluta $T$, il coefficiente di espansione termica vale $\beta = 1/T$.

Significato fisico

Il numero di Rayleigh è il prodotto del numero di Grashof (rapporto tra forze di galleggiamento e forze viscose) e del numero di Prandtl (rapporto tra diffusività della quantità di moto e diffusività termica):

$$Gr = \frac{g \, \beta \, \Delta T \, L^3}{\nu^2}, \qquad Pr = \frac{\nu}{\alpha}$$

• Un $Ra$ basso indica che le forze viscose e la diffusione termica smorzano ogni perturbazione: il calore si trasferisce per conduzione pura, il fluido rimane stazionario.
• Al crescere di $Ra$, le forze di galleggiamento (buoyancy) superano la resistenza viscosa: si instaura la convezione naturale con celle di circolazione organizzate.
• Per $Ra > Ra_{cr}$ si ha la transizione alla convezione, tipicamente $Ra_{cr} \approx 10^3$ per uno strato orizzontale riscaldato dal basso (instabilità di Rayleigh–Bénard). Per superfici verticali la transizione alla turbolenza avviene intorno a $Ra \approx 10^9$.

Regimi di convezione naturale

Regime	Ordine di grandezza di $Ra$
Conduzione pura	$Ra < 10^3$
Convezione laminare	$10^3 \lesssim Ra \lesssim 10^9$
Transizione	$10^9 \lesssim Ra \lesssim 10^{10}$
Convezione turbolenta	$Ra > 10^{10}$

I valori di soglia dipendono dalla geometria (parete verticale, parete orizzontale, cavità chiusa, cilindro, ecc.) e dalle condizioni al contorno.

Correlazioni per il numero di Nusselt

In convezione naturale il coefficiente di scambio termico convettivo si ricava dal numero di Nusselt $Nu$, che è funzione di $Ra$. La forma generica per una parete verticale isoterma (correlazione di Churchill–Chu, 1975):

$$Nu = \left[0{,}825 + \frac{0{,}387 \, Ra^{1/6}}{\left[1 + \left(\dfrac{0{,}492}{Pr}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}\right]^2$$

valida per l’intero intervallo $Ra \in [10^{-1},\, 10^{12}]$.

Instabilità di Rayleigh–Bénard

Il caso paradigmatico è uno strato orizzontale di fluido riscaldato dal basso (configurazione di Bénard): le particelle di fluido caldo sul fondo sono più leggere e tendono a salire, ma la viscosità e la diffusione termica si oppongono. Il numero di Rayleigh critico per la comparsa delle celle di convezione è:

$$Ra_{cr} = 1708 \quad \text{(strato orizzontale, condizioni al contorno rigide)}$$

Al di sopra di questa soglia compaiono le caratteristiche celle di Bénard (strutture esagonali visibili, ad esempio, nell’olio riscaldato in padella).

Il fenomeno prende il nome da John William Strutt (Lord Rayleigh), che ne fornì l’analisi teorica nel 1916, e da Henri Bénard, che lo osservò sperimentalmente nel 1900.