Il numero di Grashof Gr misura il rapporto tra forze di galleggiamento termico e forze viscose nella convezione naturale. Per una lunghezza caratteristica L si scrive:
dove g è l’accelerazione di gravità, \beta il coefficiente di dilatazione volumica del fluido, \Delta T la differenza di temperatura caratteristica e \nu la viscosità cinematica.
È l’analogo, per la convezione naturale, del ruolo che il numero di Reynolds ha nella convezione forzata: descrive quanto il moto del fluido sia dominato da effetti inerziali o viscosi. Qui però il moto nasce dalla spinta di galleggiamento dovuta a differenze di densità, non da una pompa o da una velocità imposta.
Significato fisico
Quando una parete calda scalda il fluido vicino, questo diventa meno denso e tende a salire. La viscosità si oppone al moto. Il numero di Grashof confronta queste due tendenze:
| Gr | Lettura |
|---|---|
| basso | viscosità dominante, moto naturale debole |
| alto | galleggiamento dominante, convezione naturale intensa |
| molto alto | possibile transizione a regime turbolento naturale |
La dipendenza da L^3 è importante: aumentando la dimensione della superficie o della cavità, la convezione naturale può diventare molto più intensa.
Rapporto con Rayleigh
Nelle correlazioni di scambio termico si usa spesso il numero di Rayleigh:
dove Pr è il numero di Prandtl. Il Grashof descrive la spinta di galleggiamento rispetto alla viscosità; il Prandtl aggiunge il rapporto tra diffusione viscosa e diffusione termica.
In molte correlazioni di convezione naturale il numero di Nusselt viene espresso come:
oppure, in forma equivalente, come funzione di Gr e Pr.
Scelta delle proprietà
Nei calcoli applicativi le proprietà del fluido sono spesso valutate alla temperatura di film:
dove T_s è la temperatura della superficie e T_\infty quella del fluido indisturbato. Per un gas ideale:
con T_f in kelvin.
Errori comuni
- Usare temperature in gradi Celsius nella relazione \beta\simeq1/T: serve la temperatura assoluta.
- Usare una lunghezza caratteristica incoerente con la correlazione scelta.
- Confondere convezione naturale e forzata: in naturale compare Gr o Ra, in forzata compare soprattutto Re.
- Dimenticare il quadrato della viscosità cinematica al denominatore.
- Interpretare Gr da solo come coefficiente di scambio: per stimare h serve passare da una correlazione per Nu.
Vedi anche: Numero di Rayleigh, Numero di Prandtl, Numero di Nusselt, Convezione termica, Convezione e numeri adimensionali: esercizi svolti.