Una spira percorsa da corrente immersa in un campo magnetico si comporta come un dipolo magnetico. Il momento magnetico è
m=N\,I\,A,
dove N è il numero di spire, I la corrente, A l’area. In un campo B la spira subisce una coppia che tende ad allinearla:
\tau=mB\sin\theta,
con \theta angolo tra il momento magnetico e il campo. L’energia potenziale del dipolo è U=-mB\cos\theta, minima quando m è allineato a B. È il principio del motore elettrico e degli strumenti a bobina mobile.
1. Momento magnetico di una spira
Esercizio. Una spira circolare di raggio R=0{,}05\ \text{m} porta I=2{,}0\ \text{A}. Calcolare il momento magnetico.
Passo 1 — area della spira. A=\pi R^2=\pi\times0{,}05^2=7{,}85\times10^{-3}\ \text{m}^2.
Passo 2 — momento magnetico (N=1):
m=NIA=1\times2{,}0\times7{,}85\times10^{-3}=1{,}57\times10^{-2}\ \text{A·m}^2.
2. Momento di una bobina
Esercizio. Una bobina di N=100 spire, area A=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^2, porta I=0{,}50\ \text{A}. Momento magnetico?
m=NIA=100\times0{,}50\times2{,}0\times10^{-3}=0{,}10\ \text{A·m}^2.
3. Coppia massima
Esercizio. La bobina precedente (m=0{,}10\ \text{A·m}^2) è in un campo B=0{,}30\ \text{T}. Quale coppia massima?
La coppia è massima quando \theta=90° (\sin90°=1, momento perpendicolare al campo):
\tau_\text{max}=mB=0{,}10\times0{,}30=0{,}030\ \text{N·m}.
4. Coppia ad angolo generico
Esercizio. Per la stessa bobina, quale coppia quando il momento forma 30° con il campo?
\tau=mB\sin30°=0{,}10\times0{,}30\times0{,}50=0{,}015\ \text{N·m}.
5. Coppia nulla (equilibrio)
Esercizio. A quale angolo la coppia su una spira è nulla?
La coppia è nulla quando \sin\theta=0, cioè \theta=0 (momento allineato a B) o \theta=180°:
\tau=mB\sin0=0.
\theta=0 è equilibrio stabile (energia minima); \theta=180° è instabile.
6. Energia potenziale del dipolo
Esercizio. Calcolare l’energia potenziale della bobina (m=0{,}10\ \text{A·m}^2, B=0{,}30\ \text{T}) quando il momento è perpendicolare al campo (\theta=90°) e quando è allineato (\theta=0).
Perpendicolare (\theta=90°, \cos90°=0):
U=-mB\cos90°=0\ \text{J}.
Allineato (\theta=0, \cos0=1):
U=-mB\cos0=-0{,}10\times0{,}30=-0{,}030\ \text{J}.
L’energia è minima (-0{,}030\ \text{J}) quando il momento è allineato: posizione di equilibrio stabile.
7. Lavoro per ruotare la spira
Esercizio. Quanto lavoro per ruotare la bobina dall’allineamento (\theta=0) alla posizione perpendicolare (\theta=90°)?
Il lavoro è la variazione di energia potenziale:
W=U_{90°}-U_{0°}=0-(-0{,}030)=0{,}030\ \text{J}.
Serve lavoro per allontanare il dipolo dall’allineamento (energia minima).
8. Momento magnetico e velocità angolare (motore)
Esercizio. Una spira (m=0{,}05\ \text{A·m}^2) in un campo B=0{,}40\ \text{T} ha momento d’inerzia I_\text{rot}=2{,}0\times10^{-4}\ \text{kg·m}^2. Quale accelerazione angolare massima?
Passo 1 — coppia massima. \tau_\text{max}=mB=0{,}05\times0{,}40=0{,}020\ \text{N·m}.
Passo 2 — accelerazione angolare (da \tau=I_\text{rot}\alpha):
\alpha=\dfrac{\tau}{I_\text{rot}}=\dfrac{0{,}020}{2{,}0\times10^{-4}}=100\ \text{rad/s}^2.
È il principio del motore elettrico: la coppia magnetica fa ruotare la bobina.
9. Momento magnetico dell’elettrone (analogia)
Esercizio. Un elettrone orbita su un cerchio di raggio r=5{,}3\times10^{-11}\ \text{m} con frequenza f=6{,}6\times10^{15}\ \text{Hz}. Stimare il momento magnetico (q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}).
Passo 1 — corrente equivalente. I=qf=1{,}6\times10^{-19}\times6{,}6\times10^{15}=1{,}06\times10^{-3}\ \text{A}.
Passo 2 — area dell’orbita. A=\pi r^2=\pi\times(5{,}3\times10^{-11})^2=8{,}82\times10^{-21}\ \text{m}^2.
Passo 3 — momento magnetico.
m=IA=1{,}06\times10^{-3}\times8{,}82\times10^{-21}=9{,}35\times10^{-24}\ \text{A·m}^2.
Vicino al magnetone di Bohr (9{,}27\times10^{-24}\ \text{A·m}^2): l’orbita elettronica è un dipolo magnetico microscopico.
10. Galvanometro a bobina mobile
Esercizio. Perché un galvanometro misura la corrente tramite la rotazione di una bobina?
La coppia \tau=NIAB è proporzionale alla corrente I. Bilanciata da una molla di richiamo (\tau_\text{molla}=k\theta), la bobina ruota di un angolo \theta=NIAB/k proporzionale a I. La deflessione dell’ago indica quindi direttamente la corrente: è il principio degli strumenti analogici a bobina mobile.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Momento magnetico | m=NIA |
| Coppia | \tau=mB\sin\theta |
| Energia potenziale | U=-mB\cos\theta |
| Coppia massima | \tau_\text{max}=mB (\theta=90°) |
| Equilibrio stabile | \theta=0 (momento allineato a B) |
Coppia massima a 90°, nulla a 0° e 180°. Energia minima all’allineamento.
Errori da evitare:
- confondere l’angolo della coppia (massima a 90°) con quello dell’energia (minima a 0°);
- dimenticare il numero di spire N nel momento magnetico;
- credere che la coppia sia massima quando il momento è allineato al campo (è nulla lì).