In un mezzo dispersivo l’indice di rifrazione (e quindi la velocità) dipende dalla frequenza: n=n(\omega). Ciò separa le componenti spettrali (la dispersione della luce nel prisma). In un plasma o conduttore, le onde sotto la frequenza di plasma vengono riflesse:
\omega_p=\sqrt{\dfrac{n_e e^2}{\varepsilon_0 m_e}}.
Nei conduttori le onde EM penetrano solo per una distanza caratteristica, la profondità di penetrazione (effetto pelle):
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}},
con \sigma conducibilità. L’ampiezza decade come e^{-x/\delta}.
1. Velocità di fase in un mezzo dispersivo
Esercizio. Un mezzo ha indice di rifrazione n=1{,}5 a una certa frequenza. Quale velocità di fase?
v_f=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{1{,}5}=2{,}0\times10^8\ \text{m/s}.
2. Dispersione: indice variabile
Esercizio. In un vetro, n=1{,}51 per il rosso e n=1{,}53 per il blu. Quale luce viaggia più veloce?
La velocità è v=c/n, inversamente proporzionale a n. Poiché n_\text{rosso}<n_\text{blu}:
v_\text{rosso}>v_\text{blu}.
Il rosso viaggia più veloce e viene deviato meno: per questo il prisma separa i colori (il blu è rifratto di più).
3. Frequenza di plasma
Esercizio. Calcolare la frequenza di plasma per una densità elettronica n_e=1{,}0\times10^{18}\ \text{m}^{-3} (e=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}, m_e=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}).
Numeratore: 1{,}0\times10^{18}\times2{,}56\times10^{-38}=2{,}56\times10^{-20}. Denominatore: 8{,}06\times10^{-42}.
\omega_p=\sqrt{\dfrac{2{,}56\times10^{-20}}{8{,}06\times10^{-42}}}=\sqrt{3{,}18\times10^{21}}=5{,}64\times10^{10}\ \text{rad/s}.
4. Frequenza di plasma in Hz
Esercizio. Convertire la frequenza di plasma precedente in hertz.
f_p=\dfrac{\omega_p}{2\pi}=\dfrac{5{,}64\times10^{10}}{6{,}283}=8{,}98\times10^9\ \text{Hz}\approx9{,}0\ \text{GHz}.
5. Riflessione sotto la frequenza di plasma
Esercizio. Un’onda a f=5{,}0\ \text{GHz} incide su un plasma con f_p=9{,}0\ \text{GHz}. Si propaga o si riflette?
f=5{,}0\ \text{GHz}<f_p=9{,}0\ \text{GHz}\ \Rightarrow\ \text{riflessa}.
Sotto la frequenza di plasma l’onda non penetra (riflessione totale). È il motivo per cui la ionosfera riflette le onde radio (comunicazioni a lunga distanza) ma è trasparente alle frequenze più alte (TV satellitare).
6. Profondità di penetrazione (effetto pelle)
Esercizio. Calcolare la profondità di penetrazione nel rame (\sigma=5{,}96\times10^7\ \text{S/m}, \mu\approx\mu_0) a f=1{,}0\ \text{MHz}.
Passo 1 — pulsazione. \omega=2\pi f=2\pi\times10^6=6{,}28\times10^6\ \text{rad/s}.
Passo 2 — profondità.
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_0\sigma}}=\sqrt{\dfrac{2}{6{,}28\times10^6\times4\pi\times10^{-7}\times5{,}96\times10^7}}.
Denominatore:
\delta=\sqrt{\dfrac{2}{4{,}70\times10^8}}=\sqrt{4{,}26\times10^{-9}}=6{,}52\times10^{-5}\ \text{m}=65\ \mu\text{m}.
A 1\ \text{MHz} la corrente nel rame scorre solo nei 65\ \mu\text{m} superficiali.
7. Effetto pelle e frequenza
Esercizio. Come cambia la profondità di penetrazione se la frequenza aumenta di 100 volte?
Da \delta\propto1/\sqrt{\omega}:
\dfrac{\delta_2}{\delta_1}=\sqrt{\dfrac{f_1}{f_2}}=\sqrt{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{1}{10}.
La profondità si riduce di 10 volte: alle alte frequenze la corrente è confinata in uno strato sempre più sottile (per questo i conduttori RF sono cavi o argentati in superficie).
8. Attenuazione nel conduttore
Esercizio. Un’onda entra in un conduttore con \delta=50\ \mu\text{m}. A quale profondità l’ampiezza si riduce a 1/e del valore iniziale?
L’ampiezza decade come e^{-x/\delta}; si riduce a 1/e quando x=\delta:
x=\delta=50\ \mu\text{m}.
La profondità di penetrazione è proprio la distanza a cui l’ampiezza cala a 1/e\approx37\%.
9. Velocità di gruppo in un mezzo dispersivo
Esercizio. Perché in un mezzo dispersivo la velocità di gruppo differisce da quella di fase?
In un mezzo dispersivo n dipende da \omega, quindi le diverse frequenze viaggiano a velocità diverse. La velocità di fase v_f=c/n descrive le creste della singola onda, mentre la velocità di gruppo v_g=d\omega/dk descrive la propagazione dell’inviluppo (il “pacchetto” che trasporta l’informazione e l’energia). Solo v_g è limitata da c. La differenza causa l’allargamento degli impulsi nelle fibre ottiche (dispersione cromatica).
10. Trasparenza sopra la frequenza di plasma
Esercizio. Perché i metalli sono opachi alla luce visibile ma trasparenti ai raggi X?
I metalli hanno frequenza di plasma nell’ultravioletto. La luce visibile (f<f_p) viene riflessa (riflettività dei metalli lucidi). I raggi X (f>f_p) hanno frequenza superiore a quella di plasma: gli elettroni non riescono a seguirli, l’onda penetra e il metallo diventa trasparente ai raggi X. È il principio della radiografia (i raggi X attraversano i tessuti).
11. Indice di un plasma sopra la frequenza critica
Esercizio. Un’onda ha frequenza f=12\ \text{GHz} e attraversa un plasma con f_p=9\ \text{GHz}. Calcolare l’indice di rifrazione del plasma nel modello freddo non magnetizzato.
Per un plasma:
Numericamente:
L’indice è minore di 1, quindi la velocità di fase v_f=c/n supera c. Non c’è violazione della relatività: l’informazione e l’energia viaggiano con la velocità di gruppo, che nel plasma resta inferiore a c.
12. Attenuazione dopo più profondità di pelle
Esercizio. Un campo elettromagnetico entra in un conduttore con profondità di pelle \delta=20\ \mu\text{m}. Quale frazione di ampiezza e di intensità rimane a profondità x=60\ \mu\text{m}?
L’ampiezza decade come:
Poiché x=60\ \mu\text{m}=3\delta:
Rimane circa il 5{,}0\% dell’ampiezza. L’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza:
Rimane solo lo 0{,}25\% della potenza per unità di area. Per schermature elettromagnetiche, poche profondità di pelle bastano a ridurre molto l’energia trasmessa.
13. Resistenza superficiale di un buon conduttore
Esercizio. Per il rame a f=1{,}0\ \text{MHz} era stata trovata \delta=65\ \mu\text{m} con \sigma=5{,}96\times10^7\ \text{S/m}. Stimare la resistenza superficiale R_s.
Nei buoni conduttori la corrente alternata è confinata in uno strato di spessore circa \delta. Una stima utile è:
Numericamente:
Il risultato si esprime in ohm per quadrato. A frequenze alte, R_s cresce come \sqrt{f}: anche metalli molto conduttivi dissipano di più quando la corrente è costretta in uno strato superficiale sottile.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Velocità di fase | v_f=c/n(\omega) |
| Plasma | n=\sqrt{1-\omega_p^2/\omega^2} |
| Frequenza di plasma | \omega_p=\sqrt{n_e e^2/(\varepsilon_0 m_e)} |
| Profondità di penetrazione | \delta=\sqrt{2/(\omega\mu\sigma)} |
| Attenuazione | \propto e^{-x/\delta} |
| Resistenza superficiale | R_s\approx1/(\sigma\delta) |
Sotto \omega_p: riflessione. Sopra \omega_p: trasparenza. Effetto pelle: \delta\propto1/\sqrt{f}.
Errori da evitare:
- confondere velocità di fase (creste, può superare c) e di gruppo (energia, \le c);
- credere che un conduttore sia sempre opaco (è trasparente sopra la frequenza di plasma);
- confrontare ampiezza e intensità come se decadessero allo stesso modo: l’intensità decade con il quadrato dell’ampiezza;
- dimenticare la dipendenza \delta\propto1/\sqrt{f} dell’effetto pelle.