Materiali magnetici e circuiti magnetici: esercizi svolti

I materiali magnetici modificano il campo magnetico al loro interno. La permeabilità relativa $\mu_r$ quantifica l’effetto: $B=\mu_r\mu_0 H$ , dove $H$ è il campo magnetizzante. Tre comportamenti:

diamagnetici ( $\mu_r<1$ , poco): si oppongono debolmente al campo;
paramagnetici ( $\mu_r>1$ , poco): si allineano debolmente;
ferromagnetici ( $\mu_r\gg1$ ): si magnetizzano fortemente (ferro, $\mu_r\sim10^3$ – $10^5$ ).

I circuiti magnetici (es. nuclei di trasformatori) si analizzano in analogia con i circuiti elettrici: la forza magnetomotrice $\mathcal{F}=NI$ genera un flusso $\Phi$ attraverso una riluttanza $\mathcal{R}$ : $\Phi=\mathcal{F}/\mathcal{R}$ .

1. Campo in un materiale magnetico

Esercizio. Un campo magnetizzante $H=500\ \text{A/m}$ è applicato a un materiale con $\mu_r=200$ . Calcolare il campo $B$ .

$B=\mu_r\mu_0 H=200\times4\pi\times10^{-7}\times500=200\times1{,}257\times10^{-6}\times500=0{,}126\ \text{T}.$

2. Permeabilità relativa da B e H

Esercizio. In un materiale, $H=1000\ \text{A/m}$ produce $B=1{,}5\ \text{T}$ . Calcolare $\mu_r$ .

$\mu_r=\dfrac{B}{\mu_0 H}=\dfrac{1{,}5}{4\pi\times10^{-7}\times1000}=\dfrac{1{,}5}{1{,}257\times10^{-3}}=1193.$

Valore elevato → materiale ferromagnetico.

3. Magnetizzazione

La magnetizzazione è $M=\chi_m H$ , con suscettività $\chi_m=\mu_r-1$ .

Esercizio. Un materiale paramagnetico ha $\mu_r=1{,}0008$ . Calcolare la magnetizzazione per $H=2000\ \text{A/m}$ .

Passo 1 — suscettività. $\chi_m=\mu_r-1=1{,}0008-1=8{,}0\times10^{-4}$ .

Passo 2 — magnetizzazione.

$M=\chi_m H=8{,}0\times10^{-4}\times2000=1{,}6\ \text{A/m}.$

Magnetizzazione piccola: tipica dei paramagnetici (effetto debole).

4. Classificare un materiale dalla suscettività

Esercizio. Classificare: (a) $\chi_m=-1{,}0\times10^{-5}$ ; (b) $\chi_m=+3{,}0\times10^{-4}$ ; (c) $\chi_m=+5000$ .

(a) $\chi_m<0$ → diamagnetico (si oppone debolmente).
(b) $\chi_m>0$ piccolo → paramagnetico (si allinea debolmente).
(c) $\chi_m\gg1$ → ferromagnetico (forte magnetizzazione).

5. Solenoide con nucleo ferromagnetico

Esercizio. Un solenoide con $n=1000\ \text{spire/m}$ e $I=2{,}0\ \text{A}$ ha un nucleo di ferro ( $\mu_r=500$ ). Campo nel nucleo?

Passo 1 — campo magnetizzante. $H=nI=1000\times2{,}0=2000\ \text{A/m}$ .

Passo 2 — campo nel nucleo.

$B=\mu_r\mu_0 H=500\times4\pi\times10^{-7}\times2000=500\times1{,}257\times10^{-6}\times2000=1{,}26\ \text{T}.$

Il nucleo ferromagnetico amplifica il campo di $500$ volte rispetto al vuoto.

6. Riluttanza di un circuito magnetico

La riluttanza è $\mathcal{R}=\dfrac{L}{\mu_r\mu_0 A}$ (analoga alla resistenza elettrica).

Esercizio. Un nucleo toroidale ha lunghezza media $L=0{,}50\ \text{m}$ , sezione $A=2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ , $\mu_r=1000$ . Calcolare la riluttanza.

\begin{aligned} \mathcal{R}&=\dfrac{L}{\mu_r\mu_0 A}\\ &=\dfrac{0{,}50}{1000\times4\pi\times10^{-7}\times2{,}0\times10^{-4}}\\ &=\dfrac{0{,}50}{2{,}51\times10^{-7}}\\ &=1{,}99\times10^6\ \text{A/Wb}. \end{aligned}

7. Flusso in un circuito magnetico

Esercizio. Il nucleo precedente ( $\mathcal{R}=1{,}99\times10^6\ \text{A/Wb}$ ) ha un avvolgimento di $N=200$ spire con $I=1{,}5\ \text{A}$ . Calcolare il flusso magnetico.

Passo 1 — forza magnetomotrice. $\mathcal{F}=NI=200\times1{,}5=300\ \text{A}$ .

Passo 2 — flusso (legge di Hopkinson, analoga a Ohm):

$\Phi=\dfrac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}}=\dfrac{300}{1{,}99\times10^6}=1{,}51\times10^{-4}\ \text{Wb}.$

8. Campo dal flusso

Esercizio. Per il circuito precedente ( $\Phi=1{,}51\times10^{-4}\ \text{Wb}$ , $A=2{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ ), calcolare il campo $B$ .

$B=\dfrac{\Phi}{A}=\dfrac{1{,}51\times10^{-4}}{2{,}0\times10^{-4}}=0{,}755\ \text{T}.$

9. Ciclo di isteresi (concetto applicato)

Esercizio. Perché un materiale ferromagnetico presenta isteresi e cosa rappresenta l’area del ciclo?

Nei ferromagnetici la magnetizzazione non segue lo stesso percorso in salita e discesa di $H$ : resta una magnetizzazione residua ( $B_r$ ) anche a $H=0$ , e serve un campo coercitivo ( $H_c$ ) per annullarla. Il ciclo $B$ - $H$ racchiude un’area proporzionale all’energia dissipata per ciclo (in calore). Materiali “dolci” (ciclo stretto) hanno basse perdite, usati nei trasformatori; materiali “duri” (ciclo largo) trattengono la magnetizzazione, usati nei magneti permanenti.

10. Riluttanze in serie (traferro)

Esercizio. Perché un piccolo traferro (gap d’aria) in un nucleo ferromagnetico ne aumenta drasticamente la riluttanza?

L’aria ha $\mu_r\approx1$ , contro $\mu_r\sim1000$ del ferro: la riluttanza del gap ( $\mathcal{R}=L/\mu_0 A$ , senza $\mu_r$ ) è enorme rispetto a quella del ferro. Le riluttanze in serie si sommano, quindi anche un traferro sottile domina la riluttanza totale e riduce il flusso. È il motivo per cui i nuclei dei motori e trasformatori sono accuratamente lavorati per minimizzare i gap.

11. Calcolo numerico del traferro

Esercizio. Un circuito magnetico ha nucleo in ferro lungo $l_f=0{,}40\ \text{m}$ , $\mu_r=2000$ , sezione $A=4{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^2$ e un traferro $g=1{,}0\ \text{mm}$ . Calcolare le riluttanze di ferro e traferro.

Per il ferro:

\mathcal R_f=\dfrac{l_f}{\mu_0\mu_r A}.

Quindi:

\mathcal R_f= \dfrac{0{,}40}{(4\pi\times10^{-7})(2000)(4{,}0\times10^{-4})} =3{,}98\times10^5\ \text{A/Wb}.

Per il traferro:

\mathcal R_g=\dfrac{g}{\mu_0 A} =\dfrac{1{,}0\times10^{-3}}{(4\pi\times10^{-7})(4{,}0\times10^{-4})} =1{,}99\times10^6\ \text{A/Wb}.

Il traferro, pur essendo mille volte più corto del nucleo, ha riluttanza circa cinque volte maggiore. Domina quindi la forza magnetomotrice richiesta.

12. Corrente magnetizzante richiesta

Esercizio. Nel circuito del punto 11 si vuole un flusso $\Phi=2{,}0\times10^{-4}\ \text{Wb}$ con $N=500$ spire. Calcolare la corrente.

La riluttanza totale è:

\mathcal R_\text{tot}=\mathcal R_f+\mathcal R_g =3{,}98\times10^5+1{,}99\times10^6 =2{,}39\times10^6\ \text{A/Wb}.

La forza magnetomotrice richiesta è:

\mathcal F=\Phi\mathcal R_\text{tot} =2{,}0\times10^{-4}\cdot2{,}39\times10^6 =478\ \text{A}.

Poiché $\mathcal F=NI$ :

I=\dfrac{\mathcal F}{N} =\dfrac{478}{500} =0{,}956\ \text{A}.

Una piccola variazione del traferro cambia molto la corrente magnetizzante richiesta.

13. Perdite per isteresi

Esercizio. Un nucleo ha energia dissipata per ciclo e per unità di volume pari a $w_h=120\ \text{J/m}^3$ . Il volume del nucleo è $V=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$ e la frequenza è $50\ \text{Hz}$ . Calcolare la potenza dissipata per isteresi.

L’energia dissipata a ogni ciclo è:

W_\text{ciclo}=w_h V =120\cdot2{,}0\times10^{-3} =0{,}240\ \text{J}.

A $50$ cicli al secondo:

P_h=W_\text{ciclo}f =0{,}240\cdot50 =12\ \text{W}.

Per trasformatori e macchine elettriche conviene usare materiali magnetici dolci, con ciclo di isteresi stretto, proprio per ridurre queste perdite.

Sintesi

Concetto	Formula
Campo nel materiale	$B=\mu_r\mu_0 H$
Suscettività	$\chi_m=\mu_r-1$
Magnetizzazione	$M=\chi_m H$
Riluttanza	$\mathcal{R}=L/(\mu_r\mu_0 A)$
Flusso (Hopkinson)	$\Phi=\mathcal{F}/\mathcal{R}=NI/\mathcal{R}$
Riluttanze in serie	$\displaystyle \mathcal R_\text{tot}=\sum\mathcal R_i$
Perdite isteresi	$P_h=w_h V f$

Diamagnetici $\mu_r<1$ , paramagnetici $\mu_r>1$ (poco), ferromagnetici $\mu_r\gg1$ .

Errori da evitare:

confondere $H$ (campo magnetizzante, A/m) e $B$ (induzione, T);
trascurare la riluttanza del traferro (domina anche se sottile);
confondere i materiali “dolci” (trasformatori) e “duri” (magneti permanenti) nell’isteresi.
usare $\mu_r$ del ferro anche nel traferro: nell’aria $\mu_r\approx1$ ;
dimenticare che le perdite per isteresi crescono con la frequenza.