Una macchina termica trasforma calore in lavoro operando in un ciclo: assorbe calore Q_1 da una sorgente calda, ne cede Q_2 a una sorgente fredda, e produce lavoro netto L=Q_1-Q_2. Il rendimento è la frazione di calore convertita in lavoro:
\eta=\dfrac{L}{Q_1}=\dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\dfrac{Q_2}{Q_1}.
Il secondo principio impone \eta<1: è impossibile convertire tutto il calore in lavoro (enunciato di Kelvin). Il rendimento è sempre minore di 1 perché una parte del calore va inevitabilmente alla sorgente fredda.
1. Rendimento da calori scambiati
Esercizio. Una macchina termica assorbe Q_1=1000\ \text{J} e cede Q_2=700\ \text{J}. Calcolare lavoro e rendimento.
Passo 1 — lavoro netto.
L=Q_1-Q_2=1000-700=300\ \text{J}.
Passo 2 — rendimento.
\eta=\dfrac{L}{Q_1}=\dfrac{300}{1000}=0{,}30=30\%.
2. Calore ceduto dal rendimento
Esercizio. Una macchina con \eta=0{,}40 assorbe Q_1=2000\ \text{J}. Quanto calore cede alla sorgente fredda?
Passo 1 — lavoro. L=\eta Q_1=0{,}40\times2000=800\ \text{J}.
Passo 2 — calore ceduto.
Q_2=Q_1-L=2000-800=1200\ \text{J}.
3. Calore assorbito dal lavoro richiesto
Esercizio. Una macchina con \eta=0{,}25 deve produrre L=500\ \text{J} di lavoro. Quanto calore deve assorbire?
Da \eta=L/Q_1:
Q_1=\dfrac{L}{\eta}=\dfrac{500}{0{,}25}=2000\ \text{J}.
4. Potenza di una macchina termica
Esercizio. Una macchina compie 400\ \text{J} di lavoro per ciclo a 5{,}0\ \text{cicli/s}. Quale potenza?
La potenza è il lavoro per unità di tempo:
P=L\times f=400\times5{,}0=2000\ \text{W}=2{,}0\ \text{kW}.
5. Consumo di combustibile
Esercizio. Un motore con \eta=0{,}30 eroga una potenza utile di P=60\ \text{kW}. Quale potenza termica deve fornire il combustibile?
Da \eta=P_\text{utile}/P_\text{termica}:
P_\text{termica}=\dfrac{P_\text{utile}}{\eta}=\dfrac{60}{0{,}30}=200\ \text{kW}.
Il restante 140\ \text{kW} (70\%) si disperde come calore.
6. Calore ceduto in un’ora
Esercizio. La macchina precedente (P_\text{utile}=60\ \text{kW}, \eta=0{,}30) opera per 1{,}0\ \text{ora}. Quanto calore cede all’ambiente?
Passo 1 — potenza dispersa. P_\text{ceduta}=P_\text{termica}-P_\text{utile}=200-60=140\ \text{kW}.
Passo 2 — energia ceduta in un’ora.
Q_2=P_\text{ceduta}\times t=140\times10^3\times3600=5{,}04\times10^8\ \text{J}=504\ \text{MJ}.
7. Enunciati del secondo principio
Esercizio. Una macchina assorbe 1000\ \text{J} da una sola sorgente e li converte tutti in lavoro (\eta=1). È possibile?
No. L’enunciato di Kelvin-Planck del secondo principio vieta una macchina che converta integralmente in lavoro il calore di un’unica sorgente: serve sempre una sorgente fredda a cui cedere Q_2>0. Quindi \eta<1 sempre. La macchina descritta (\eta=1, Q_2=0) è impossibile.
8. Macchine in cascata
Due macchine in cascata: il calore ceduto dalla prima alimenta la seconda. Il rendimento globale combina i due.
Esercizio. Una macchina A (\eta_A=0{,}40) assorbe Q_1=1000\ \text{J} e cede il suo Q_2 a una macchina B (\eta_B=0{,}30). Quale lavoro totale e rendimento globale?
Passo 1 — macchina A. L_A=\eta_A Q_1=0{,}40\times1000=400\ \text{J}; Q_2^A=1000-400=600\ \text{J}.
Passo 2 — macchina B (assorbe i 600\ \text{J} ceduti da A). L_B=\eta_B\times600=0{,}30\times600=180\ \text{J}.
Passo 3 — lavoro totale e rendimento globale.
L_\text{tot}=L_A+L_B=400+180=580\ \text{J},\qquad\eta_\text{glob}=\dfrac{L_\text{tot}}{Q_1}=\dfrac{580}{1000}=0{,}58.
La combinazione recupera parte del calore di scarto: rendimento globale (58\%) maggiore dei singoli.
9. Rendimento da un ciclo nel piano PV
Esercizio. In un ciclo il lavoro netto (area racchiusa) è L=250\ \text{J} e il calore totale assorbito nelle fasi calde è Q_1=1000\ \text{J}. Rendimento?
\eta=\dfrac{L}{Q_1}=\dfrac{250}{1000}=0{,}25=25\%.
10. Numero di cicli per un lavoro dato
Esercizio. Una macchina compie 300\ \text{J} di lavoro per ciclo. Quanti cicli per produrre 1{,}5\times10^4\ \text{J}?
N=\dfrac{L_\text{tot}}{L_\text{ciclo}}=\dfrac{1{,}5\times10^4}{300}=50\ \text{cicli}.
11. Rendimento massimo di Carnot
Esercizio. Una macchina opera tra una sorgente calda a T_1=600\ \text{K} e una fredda a T_2=300\ \text{K}. Qual è il rendimento massimo teorico?
Il limite superiore è il rendimento di Carnot:
Numericamente:
Nessuna macchina che lavori tra queste due sorgenti può superare il 50\%, indipendentemente dal fluido di lavoro o dai dettagli costruttivi. Una macchina reale avrà rendimento minore per attriti, scambi termici a salto finito, perdite di carico e irreversibilità interne.
12. Verifica di impossibilità con Carnot
Esercizio. Una macchina tra T_1=800\ \text{K} e T_2=400\ \text{K} dichiara \eta=60\%. È compatibile con il secondo principio?
Calcoliamo il massimo reversibile:
La macchina dichiarata avrebbe:
È quindi impossibile: violerebbe il secondo principio. Questo controllo è più forte del semplice \eta<1: una macchina può avere rendimento minore di 100\% e tuttavia essere impossibile se supera il limite di Carnot tra le stesse temperature.
13. Macchina reversibile e bilancio entropico
Esercizio. Una macchina reversibile assorbe Q_1=1200\ \text{J} da una sorgente a T_1=600\ \text{K} e cede calore a T_2=300\ \text{K}. Calcolare Q_2, lavoro e rendimento.
Per una macchina reversibile, la variazione di entropia complessiva delle sorgenti è nulla:
Quindi:
Il lavoro prodotto è:
Il rendimento risulta:
uguale al rendimento di Carnot. Se una macchina reale cedesse meno di 600\ \text{J} alle stesse temperature, produrrebbe più lavoro del reversibile e sarebbe impossibile.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Lavoro netto | L=Q_1-Q_2 |
| Rendimento | \eta=L/Q_1=1-Q_2/Q_1 |
| Carnot | \eta_C=1-T_2/T_1 |
| Reversibile | Q_1/T_1=Q_2/T_2 |
| Potenza | P=L\times f |
| Cascata | il Q_2 della prima alimenta la seconda |
Secondo principio (Kelvin): impossibile \eta=1; serve sempre una sorgente fredda. Quindi 0<\eta<1.
Errori da evitare:
- assumere \eta=1 (vietato dal secondo principio);
- confondere calore assorbito Q_1 e lavoro L nel rapporto del rendimento;
- confrontare un rendimento reale solo con 100\% invece che con il limite di Carnot tra le due temperature;
- dimenticare che il calore ceduto Q_2 è sempre positivo (non si annulla mai).