Una linea di trasmissione (cavo coassiale, doppino) propaga segnali ad alta frequenza, dove la lunghezza d’onda è confrontabile con la lunghezza della linea. La impedenza caratteristica dipende dai parametri distribuiti:
Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}},
con L e C induttanza e capacità per unità di lunghezza. Quando il carico Z_L\neq Z_0, parte del segnale si riflette, con coefficiente di riflessione:
\Gamma=\dfrac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}.
Il rapporto d’onda stazionaria (ROS o VSWR) misura il disadattamento: \text{VSWR}=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
1. Impedenza caratteristica
Esercizio. Una linea ha L=250\ \text{nH/m} e C=100\ \text{pF/m}. Calcolare l’impedenza caratteristica.
Z_0=\sqrt{\dfrac{L}{C}}=\sqrt{\dfrac{250\times10^{-9}}{100\times10^{-12}}}=\sqrt{2500}=50\ \Omega.
Valore tipico dei cavi coassiali (50\ \Omega).
2. Velocità di propagazione
Esercizio. Per la linea precedente, calcolare la velocità di propagazione (v=1/\sqrt{LC}).
Circa due terzi di c: tipico per un cavo con dielettrico.
3. Coefficiente di riflessione
Esercizio. Una linea da Z_0=50\ \Omega è chiusa su un carico Z_L=75\ \Omega. Calcolare il coefficiente di riflessione.
\Gamma=\dfrac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\dfrac{75-50}{75+50}=\dfrac{25}{125}=0{,}20.
Il 20\% dell’ampiezza si riflette per il disadattamento.
4. Linea adattata
Esercizio. Cosa accade quando Z_L=Z_0 (carico adattato)?
\Gamma=\dfrac{Z_0-Z_0}{Z_0+Z_0}=\dfrac{0}{2Z_0}=0.
Nessuna riflessione: tutta la potenza è trasferita al carico. È la condizione ideale (massimo trasferimento, nessuna onda stazionaria).
5. Carico in cortocircuito
Esercizio. Una linea è chiusa in cortocircuito (Z_L=0). Quale coefficiente di riflessione?
\Gamma=\dfrac{0-Z_0}{0+Z_0}=\dfrac{-Z_0}{Z_0}=-1.
Riflessione totale con inversione di fase: tutta l’onda torna indietro. (Per circuito aperto, Z_L\to\infty, \Gamma=+1: riflessione totale senza inversione.)
6. Rapporto d’onda stazionaria (VSWR)
Esercizio. Per la linea con \Gamma=0{,}20 (esercizio 3), calcolare il VSWR.
\text{VSWR}=\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\dfrac{1+0{,}20}{1-0{,}20}=\dfrac{1{,}20}{0{,}80}=1{,}50.
VSWR =1 è l’adattamento perfetto; valori maggiori indicano disadattamento crescente.
7. Coefficiente di riflessione da VSWR
Esercizio. Una linea ha VSWR =2{,}0. Quale modulo del coefficiente di riflessione?
Isolando |\Gamma|:
|\Gamma|=\dfrac{\text{VSWR}-1}{\text{VSWR}+1}=\dfrac{2{,}0-1}{2{,}0+1}=\dfrac{1}{3}=0{,}333.
8. Potenza riflessa
Esercizio. Per una linea con \Gamma=0{,}30, quale frazione di potenza si riflette?
La frazione di potenza riflessa è |\Gamma|^2:
\dfrac{P_\text{rifl}}{P_\text{inc}}=|\Gamma|^2=0{,}30^2=0{,}090=9{,}0\%.
Il 9\% della potenza torna indietro; il 91\% raggiunge il carico.
9. Adattamento con trasformatore a quarto d’onda
Un tratto di linea lungo \lambda/4 con impedenza Z_T=\sqrt{Z_0 Z_L} adatta un carico a una linea.
Esercizio. Quale impedenza deve avere un adattatore a quarto d’onda per collegare una linea da 50\ \Omega a un carico da 200\ \Omega?
Z_T=\sqrt{Z_0 Z_L}=\sqrt{50\times200}=\sqrt{10\,000}=100\ \Omega.
Un tratto di linea da 100\ \Omega lungo \lambda/4 elimina le riflessioni.
10. Lunghezza d’onda sulla linea
Esercizio. Su una linea con v=2{,}0\times10^8\ \text{m/s}, quale lunghezza d’onda a f=1{,}0\ \text{GHz}?
\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{2{,}0\times10^8}{1{,}0\times10^9}=0{,}20\ \text{m}=20\ \text{cm}.
Per l’adattatore a quarto d’onda servirebbe un tratto lungo \lambda/4=5{,}0\ \text{cm}.
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Impedenza caratteristica | Z_0=\sqrt{L/C} |
| Velocità | v=1/\sqrt{LC} |
| Coefficiente di riflessione | \Gamma=(Z_L-Z_0)/(Z_L+Z_0) |
| VSWR | $(1+ |
| Potenza riflessa | $ |
| Adattatore \lambda/4 | Z_T=\sqrt{Z_0 Z_L} |
Adattamento (Z_L=Z_0): \Gamma=0, VSWR=1, nessuna riflessione.
Errori da evitare:
- confondere coefficiente di riflessione (ampiezza, \Gamma) e potenza riflessa (|\Gamma|^2);
- dimenticare il segno di \Gamma (negativo in cortocircuito, positivo in aperto);
- usare la geometria sbagliata per l’adattatore (deve essere lungo esattamente \lambda/4).