La legge di Biot-Savart calcola il campo magnetico generato da una distribuzione di corrente stazionaria sommando i contributi infinitesimi prodotti da ogni elemento del conduttore. È una legge integrale della magnetostatica: parte da un elemento di corrente e ricostruisce il campo magnetico nel punto di osservazione.
Integrando lungo il filo si ottiene:
Significato dei termini
| Simbolo | Significato | Nota operativa |
|---|---|---|
| \displaystyle I | corrente nel conduttore | deve essere stazionaria nella formulazione magnetostatica |
| \displaystyle d\boldsymbol{\ell} | elemento orientato di filo | punta nel verso convenzionale della corrente |
| \displaystyle \mathbf r | vettore dall’elemento al punto P | il suo modulo entra al quadrato |
| \displaystyle \hat{\mathbf r} | versore nella direzione di osservazione | serve solo la direzione, non la lunghezza |
| \displaystyle \mu_0 | permeabilità magnetica del vuoto | in mezzi materiali semplici si usa la permeabilità del mezzo |
Il prodotto vettoriale è essenziale: il contributo magnetico è perpendicolare sia a d\boldsymbol{\ell} sia a \hat{\mathbf r}. Il modulo vale:
dove \theta è l’angolo tra l’elemento di corrente e la direzione verso il punto di osservazione.
Quando si usa
Biot-Savart è l’analogo magnetostatico dell’integrazione di Coulomb: si usa quando si conosce la geometria della corrente e si vuole ricostruire il campo come somma di contributi. È particolarmente utile per archi, spire, segmenti finiti o distribuzioni prive della simmetria sufficiente per applicare rapidamente la legge di Ampère.
| Situazione | Metodo più comodo | Motivo |
|---|---|---|
| Filo infinito, solenoide ideale, toroide ideale | Ampère | la simmetria rende costante il modulo di \displaystyle \mathbf B lungo una linea chiusa |
| Spira circolare sull’asse | Biot-Savart | ogni elemento contribuisce con componente assiale integrabile |
| Segmento rettilineo finito | Biot-Savart | gli estremi rompono la simmetria cilindrica perfetta |
| Campo con correnti variabili nel tempo | Ampère-Maxwell o Maxwell complete | la magnetostatica non basta |
Casi notevoli
Alcune geometrie standard producono formule chiuse, utili come controllo dei calcoli.
| Geometria | Campo magnetico | Condizione |
|---|---|---|
| Filo rettilineo infinito | \displaystyle B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a} | distanza perpendicolare \displaystyle a dal filo |
| Centro di una spira circolare | \displaystyle B=\dfrac{\mu_0 I}{2R} | raggio della spira \displaystyle R |
| Asse di una spira circolare | \displaystyle B(x)=\dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}} | punto a distanza \displaystyle x dal centro |
| Arco circolare di angolo \displaystyle \phi | \displaystyle B=\dfrac{\mu_0 I\phi}{4\pi R} | campo al centro dell’arco, con \displaystyle \phi in radianti |
Queste formule non vanno memorizzate come ricette isolate: derivano tutte dalla stessa integrazione vettoriale.
Limiti e collegamenti
La forma classica di Biot-Savart vale per correnti stazionarie e geometrie fisse. Se i campi variano nel tempo, bisogna usare la legge di Ampère-Maxwell e il quadro completo delle equazioni di Maxwell. Se invece il campo magnetico varia e induce un campo elettrico, il riferimento è la legge di Faraday.
La legge è anche collegata alla forza di Lorentz: Biot-Savart descrive come la corrente genera \mathbf B, mentre Lorentz descrive come \mathbf B agisce su cariche e correnti.
Errori comuni
Il primo errore è dimenticare il prodotto vettoriale e trattare la legge come una formula scalare. Il secondo è usare la distanza sbagliata: r è la distanza tra elemento sorgente e punto di osservazione, non necessariamente la distanza dal centro della figura. Il terzo è applicare Biot-Savart quando la legge di Ampère risolverebbe il problema in una riga grazie alla simmetria. Il quarto è usarla senza verificare l’ipotesi magnetostatica: correnti rapidamente variabili richiedono un modello elettromagnetico più generale.
Vedi anche gli esercizi su campo magnetico e Biot-Savart.