La legge di Ampère-Maxwell estende la legge di Ampère ai regimi non stazionari. Afferma che il campo magnetico è generato sia dalle correnti di conduzione sia dalla variazione temporale del campo elettrico, descritta dal termine di corrente di spostamento.
Forma integrale
Nel vuoto:
dove \Phi_E è il flusso del campo elettrico attraverso una superficie che ha come bordo la curva chiusa \gamma:
Il termine
ha le dimensioni di una corrente e viene chiamato corrente di spostamento. Non è una corrente di cariche che attraversano materialmente il dielettrico: è l’effetto magnetico equivalente prodotto da un campo elettrico variabile.
Forma locale
In forma differenziale:
Rispetto alla forma magnetostatica \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J, compare il termine \mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf E/\partial t. È proprio questa aggiunta a rendere coerente la conservazione della carica e a permettere la propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto.
Perché serve nel condensatore
Un condensatore in carica mostra il problema in modo diretto. Una superficie amperiana che taglia il filo vede una corrente di conduzione I; una superficie con lo stesso bordo ma gonfiata tra le armature non taglia alcuna corrente di conduzione. Senza il termine di Maxwell, la stessa circuitazione darebbe due risultati diversi.
| Superficie scelta | Corrente di conduzione | Termine da includere |
|---|---|---|
| Superficie che taglia il filo | \displaystyle I_{\text{cond}}=I | \displaystyle I_d=0 |
| Superficie tra le armature | \displaystyle I_{\text{cond}}=0 | \displaystyle I_d=\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}=I |
| Risultato fisico | stessa circuitazione di \displaystyle \mathbf B | indipendente dalla superficie scelta |
La corrente di spostamento non è quindi un artificio formale: ripristina l’indipendenza della legge dalla superficie scelta e collega continuità della carica, campo elettrico variabile e campo magnetico.
Differenza rispetto alla legge di Ampère
| Legge | Regime | Forma locale |
|---|---|---|
| Legge di Ampère | correnti stazionarie, campi elettrici costanti nel tempo | \displaystyle \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J |
| Legge di Ampère-Maxwell | correnti e campi variabili nel tempo | \displaystyle \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t} |
La prima è una legge magnetostatica; la seconda è una delle equazioni di Maxwell complete. Nel limite stazionario, quando \partial\mathbf E/\partial t=0, la legge di Ampère-Maxwell si riduce alla legge di Ampère.
Conseguenze fisiche
Combinata con la legge di Faraday, la legge di Ampère-Maxwell mostra che un campo elettrico variabile genera un campo magnetico e un campo magnetico variabile genera un campo elettrico. Questa mutua generazione è il meccanismo di propagazione delle onde elettromagnetiche:
La velocità ottenuta coincide con la velocità della luce nel vuoto, uno dei risultati storici decisivi dell’elettromagnetismo classico.
Errori comuni
- Interpretare la corrente di spostamento come passaggio reale di cariche attraverso il dielettrico.
- Applicare la legge di Ampère magnetostatica a condensatori in carica o a campi variabili.
- Dimenticare che il termine \varepsilon_0\,d\Phi_E/dt dipende dal flusso elettrico concatenato con il percorso scelto.
- Confondere la correzione di Maxwell con l’induzione di Faraday: qui un campo elettrico variabile genera \mathbf B; nella legge di Faraday un campo magnetico variabile genera \mathbf E.
Vedi anche: Legge di Ampère, Induzione elettromagnetica, Campo magnetico, Equazioni di Maxwell, esercizi sulle equazioni di Maxwell.