La legge di Coulomb dà la forza elettrostatica tra due cariche puntiformi:
F=k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2},\qquad k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}99\times10^9\ \dfrac{\text{N·m}^2}{\text{C}^2}.
La forza è attrattiva tra cariche di segno opposto, repulsiva tra cariche dello stesso segno, diretta lungo la congiungente. Per più cariche vale il principio di sovrapposizione: la forza totale su una carica è la somma vettoriale delle forze esercitate da tutte le altre. La costante dielettrica del vuoto è \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2).
1. Forza tra due cariche
Esercizio. Due cariche q_1=3{,}0\ \mu\text{C} e q_2=-5{,}0\ \mu\text{C} distano r=0{,}20\ \text{m}. Calcolare la forza.
Passo 1 — convertire in coulomb. q_1=3{,}0\times10^{-6}\ \text{C}; q_2=5{,}0\times10^{-6}\ \text{C} (in modulo).
Passo 2 — legge di Coulomb.
Passo 3 — calcolo.
F=8{,}99\times10^9\times3{,}75\times10^{-10}=3{,}37\ \text{N}.
Segni opposti → forza attrattiva.
2. Effetto della distanza
Esercizio. Se la distanza tra due cariche raddoppia, come cambia la forza?
Da F\propto1/r^2:
\dfrac{F_2}{F_1}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.
La forza si riduce a un quarto: dipendenza inversa dal quadrato della distanza.
3. Carica incognita da forza
Esercizio. Due cariche uguali q a distanza r=0{,}10\ \text{m} si respingono con F=0{,}90\ \text{N}. Calcolare q.
Passo 1 — isolare q^2.
Passo 2 — radice.
q=\sqrt{1{,}0\times10^{-12}}=1{,}0\times10^{-6}\ \text{C}=1{,}0\ \mu\text{C}.
4. Sovrapposizione: tre cariche in linea
Esercizio. Tre cariche su una retta: q_1=2{,}0\ \mu\text{C} a x=0, q_2=-3{,}0\ \mu\text{C} a x=0{,}30\ \text{m}, q_3=1{,}0\ \mu\text{C} a x=0{,}50\ \text{m}. Forza totale su q_3.
Passo 1 — forza di q_1 su q_3 (distanza 0{,}50\ \text{m}, repulsiva → verso +x):
Passo 2 — forza di q_2 su q_3 (distanza 0{,}20\ \text{m}, attrattiva → verso -x):
Passo 3 — somma vettoriale (su un asse, con segni: F_{13} verso +x, F_{23} verso -x):
F=+0{,}0719-0{,}674=-0{,}602\ \text{N}.
Forza totale 0{,}602\ \text{N} verso -x (verso q_2).
5. Sovrapposizione in due dimensioni
Esercizio. Una carica q_3=2{,}0\ \mu\text{C} è all’origine. q_1=4{,}0\ \mu\text{C} è in (0{,}30 ; 0)\ \text{m}, q_2=4{,}0\ \mu\text{C} in (0 ; 0{,}30)\ \text{m}. Modulo della forza su q_3.
Passo 1 — forza di q_1 (lungo -x, repulsiva, distanza 0{,}30):
Passo 2 — forza di q_2 (stessa intensità per simmetria, verso -y): F_2=0{,}799\ \text{N}.
Passo 3 — risultante (componenti perpendicolari):
F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}=\sqrt{0{,}799^2+0{,}799^2}=0{,}799\sqrt2=1{,}13\ \text{N}.
Diretta a 45° nel terzo quadrante (verso -x,-y).
6. Posizione di equilibrio
Esercizio. Due cariche q_1=4{,}0\ \mu\text{C} a x=0 e q_2=1{,}0\ \mu\text{C} a x=0{,}60\ \text{m}. Dove va posta una terza carica perché sia in equilibrio?
Passo 1 — condizione. Le due forze sulla carica devono annullarsi: deve stare tra le due (dove i versi sono opposti), a distanza x da q_1:
k\dfrac{q_1 q_3}{x^2}=k\dfrac{q_2 q_3}{(0{,}60-x)^2}\ \Rightarrow\ \dfrac{q_1}{x^2}=\dfrac{q_2}{(0{,}60-x)^2}.
Passo 2 — semplificare e prendere la radice.
\dfrac{4{,}0}{x^2}=\dfrac{1{,}0}{(0{,}60-x)^2}\ \Rightarrow\ \dfrac{0{,}60-x}{x}=\sqrt{\dfrac{1{,}0}{4{,}0}}=0{,}50.
Passo 3 — risolvere.
0{,}60-x=0{,}50\,x\ \Rightarrow\ 0{,}60=1{,}50\,x\ \Rightarrow\ x=0{,}40\ \text{m}.
L’equilibrio è a 0{,}40\ \text{m} da q_1 (più vicino alla carica minore q_2).
7. Confronto con la forza gravitazionale
Esercizio. Per due protoni (q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}, m=1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}), quante volte la forza elettrica supera quella gravitazionale?
Il rapporto è indipendente dalla distanza (entrambe \propto1/r^2):
\dfrac{F_e}{F_g}=\dfrac{k q^2}{G m^2}=\dfrac{8{,}99\times10^9\times(1{,}6\times10^{-19})^2}{6{,}67\times10^{-11}\times(1{,}67\times10^{-27})^2}.
Numeratore: 8{,}99\times10^9\times2{,}56\times10^{-38}=2{,}30\times10^{-28}. Denominatore: 6{,}67\times10^{-11}\times2{,}79\times10^{-54}=1{,}86\times10^{-64}.
\dfrac{F_e}{F_g}=\dfrac{2{,}30\times10^{-28}}{1{,}86\times10^{-64}}=1{,}2\times10^{36}.
L’elettrica è \sim10^{36} volte la gravitazionale: la gravità è trascurabile a livello atomico.
8. Cariche su sfere a contatto
Esercizio. Due sfere conduttrici identiche, una con q_1=8{,}0\ \mu\text{C} e una scarica, vengono messe a contatto e poi separate a r=0{,}10\ \text{m}. Quale forza?
Passo 1 — ridistribuzione della carica. Sfere identiche a contatto condividono equamente la carica:
q'=\dfrac{q_1+0}{2}=\dfrac{8{,}0}{2}=4{,}0\ \mu\text{C su ciascuna}.
Passo 2 — forza dopo la separazione.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Legge di Coulomb | $F=k |
| Costante | k=8{,}99\times10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2 |
| Sovrapposizione | somma vettoriale delle forze |
| Equilibrio | forze opposte uguali in modulo |
| Sfere identiche a contatto | carica si divide a metà |
Errori da evitare:
- dimenticare di convertire i microcoulomb in coulomb (\times10^{-6});
- sommare scalarmente forze non allineate (vanno composte vettorialmente);
- cercare l’equilibrio fuori dal segmento quando le cariche hanno lo stesso segno (sta sempre in mezzo).