La legge di Ampère lega la circuitazione del campo magnetico lungo un percorso chiuso alla corrente concatenata:
\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_\text{conc}.
È l’analogo magnetico del teorema di Gauss: permette di calcolare B per distribuzioni di corrente simmetriche, scegliendo un percorso amperiano adatto (cerchio, rettangolo) lungo il quale B è costante. \mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T·m/A}.
1. Campo di un filo (con Ampère)
Esercizio. Ricavare il campo di un filo rettilineo infinito con corrente I usando la legge di Ampère, a distanza r.
Passo 1 — percorso amperiano circolare di raggio r centrato sul filo. Per simmetria B è costante e tangente: \displaystyle \oint B\,dl=B\cdot2\pi r.
Passo 2 — corrente concatenata. Il percorso racchiude tutta la corrente I:
B\cdot2\pi r=\mu_0 I\ \Rightarrow\ B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Si ritrova la formula del filo, in modo molto più rapido dell’integrale di Biot-Savart.
2. Campo di un filo a distanza data
Esercizio. Un filo porta I=12\ \text{A}. Campo a r=0{,}03\ \text{m}.
B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}=\dfrac{2\times10^{-7}\times12}{0{,}03}=\dfrac{2{,}4\times10^{-6}}{0{,}03}=8{,}0\times10^{-5}\ \text{T}.
3. Campo dentro un conduttore cilindrico
Per un conduttore cilindrico pieno (raggio R) con corrente uniforme, all’interno (r<R) il campo è B=\dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}.
Esercizio. Un cilindro di raggio R=0{,}02\ \text{m} porta I=30\ \text{A} uniformemente. Campo a r=0{,}01\ \text{m} (interno)?
Passo 1 — corrente concatenata (frazione r^2/R^2 della totale):
I_\text{conc}=I\dfrac{r^2}{R^2}=30\times\dfrac{0{,}01^2}{0{,}02^2}=30\times\dfrac{1}{4}=7{,}5\ \text{A}.
Passo 2 — Ampère.
B=\dfrac{\mu_0 I_\text{conc}}{2\pi r}=\dfrac{2\times10^{-7}\times7{,}5}{0{,}01}=\dfrac{1{,}5\times10^{-6}}{0{,}01}=1{,}5\times10^{-4}\ \text{T}.
All’interno il campo cresce linearmente con r (da zero al centro al massimo sulla superficie).
4. Campo sulla superficie del conduttore
Esercizio. Per il cilindro precedente (R=0{,}02\ \text{m}, I=30\ \text{A}), campo sulla superficie (r=R)?
Sulla superficie tutta la corrente è concatenata, come per un filo:
B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}=\dfrac{2\times10^{-7}\times30}{0{,}02}=\dfrac{6{,}0\times10^{-6}}{0{,}02}=3{,}0\times10^{-4}\ \text{T}.
(Doppio del valore interno a r=R/2, coerente con la crescita lineare.)
5. Campo di un solenoide (con Ampère)
Esercizio. Ricavare il campo interno di un solenoide con n spire/m e corrente I usando Ampère.
Passo 1 — percorso amperiano rettangolare con un lato L dentro il solenoide (dove B è uniforme) e gli altri fuori (dove B\approx0). Solo il lato interno contribuisce: \displaystyle \oint B\,dl=BL.
Passo 2 — corrente concatenata. Il rettangolo racchiude nL spire, ciascuna con corrente I:
BL=\mu_0(nL)I\ \Rightarrow\ B=\mu_0 n I.
6. Campo di un toroide
In un toroide il campo è B=\dfrac{\mu_0 N I}{2\pi r}, con N spire totali e r raggio medio.
Esercizio. Un toroide ha N=500 spire, raggio medio r=0{,}10\ \text{m}, corrente I=4{,}0\ \text{A}. Campo interno?
B=\dfrac{\mu_0 N I}{2\pi r}=\dfrac{2\times10^{-7}\times500\times4{,}0}{0{,}10}=\dfrac{4{,}0\times10^{-4}}{0{,}10}=4{,}0\times10^{-3}\ \text{T}.
7. Campo fuori dal toroide
Esercizio. Qual è il campo magnetico all’esterno di un toroide ideale?
Un percorso amperiano esterno al toroide non concatena corrente netta (le correnti entranti e uscenti si compensano):
\oint B\,dl=\mu_0\times0=0\ \Rightarrow\ B=0.
Il campo è confinato all’interno del toroide: nessun campo disperso all’esterno.
8. Corrente concatenata con più fili
Esercizio. Un percorso amperiano racchiude tre fili: I_1=5\ \text{A} e I_2=8\ \text{A} nello stesso verso, I_3=4\ \text{A} in verso opposto. Quale corrente concatenata?
La corrente concatenata è la somma algebrica (con segno secondo il verso):
I_\text{conc}=I_1+I_2-I_3=5+8-4=9\ \text{A}.
9. Circuitazione da corrente
Esercizio. Calcolare la circuitazione di \vec{B} lungo un percorso che concatena I=6{,}0\ \text{A}.
\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_\text{conc}=4\pi\times10^{-7}\times6{,}0=7{,}54\times10^{-6}\ \text{T·m}.
10. Confronto Ampère vs Biot-Savart
Esercizio. Quando conviene usare la legge di Ampère invece di Biot-Savart?
La legge di Ampère è utile solo quando esiste alta simmetria (filo, solenoide, toroide, cilindro), che permette di portare B fuori dall’integrale di circuitazione. Per geometrie irregolari (es. spira sull’asse, segmenti finiti) Ampère non semplifica e serve l’integrale di Biot-Savart. Entrambe sono sempre valide, ma Ampère è “scorciatoia” solo con simmetria.
11. Cavo coassiale ideale
Esercizio. Un cavo coassiale ha corrente I=5{,}0\ \text{A} nel conduttore interno e corrente di ritorno -I nel conduttore esterno. Qual è il campo magnetico fuori dal cavo ideale?
Scegliamo un percorso amperiano circolare esterno a entrambi i conduttori. La corrente concatenata totale è:
Quindi:
Per simmetria, fuori da un coassiale ideale:
Tra conduttore interno ed esterno, invece, il percorso racchiude solo la corrente interna e il campo vale B=\mu_0 I/(2\pi r). Il ritorno coassiale serve proprio a confinare il campo e ridurre emissioni e interferenze.
12. Lastra infinita con corrente superficiale
Esercizio. Una lastra infinita porta densità di corrente superficiale K=20\ \text{A/m}. Calcolare il campo magnetico su ciascun lato.
Per una lastra infinita si usa un percorso amperiano rettangolare che attraversa la lastra. I due lati lunghi, ciascuno di lunghezza L, contribuiscono alla circuitazione:
La corrente concatenata è K L, quindi:
Numericamente:
Il campo ha lo stesso modulo sui due lati, ma verso opposto. Questo modello è utile per approssimare lamine larghe o avvolgimenti molto estesi.
13. Correzione di Maxwell: corrente di spostamento
Esercizio. Un condensatore piano è attraversato da corrente di carica I=2{,}0\ \text{A}. Quale corrente di spostamento attraversa lo spazio tra le armature?
Nella forma completa, la legge di Ampère-Maxwell è:
Tra le armature non passa corrente di conduzione, ma il flusso elettrico cambia nel tempo. La corrente di spostamento è:
Per continuità nel circuito durante la carica:
Senza il termine di Maxwell, scegliendo due superfici con lo stesso bordo si otterrebbero risultati diversi: una superficie taglia il filo e vede corrente, l’altra passa tra le armature e non vedrebbe nulla. La corrente di spostamento rende la legge coerente e permette l’esistenza delle onde elettromagnetiche.
Sintesi
| Geometria | Campo |
|---|---|
| Filo (esterno) | B=\mu_0 I/(2\pi r) |
| Cilindro (interno) | B=\mu_0 I r/(2\pi R^2) |
| Solenoide | B=\mu_0 nI |
| Toroide | B=\mu_0 NI/(2\pi r) |
| Toroide (esterno) | B=0 |
| Lastra di corrente | B=\mu_0 K/2 |
| Ampère-Maxwell | \oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0(I+\varepsilon_0 d\Phi_E/dt) |
Ampère: \displaystyle \oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_\text{conc}. Conta solo la corrente concatenata.
Errori da evitare:
- usare la corrente totale invece di quella concatenata dentro un conduttore;
- applicare Ampère a geometrie senza simmetria (non semplifica);
- dimenticare i segni nella somma delle correnti concatenate;
- usare la forma magnetostatica di Ampère in presenza di campi elettrici variabili senza il termine di Maxwell.