Lo scambio radiativo tra superfici dipende dalla loro geometria reciproca, descritta dai fattori di vista (o di forma) F_{ij}: la frazione di radiazione che lascia la superficie i e raggiunge la j. Proprietà fondamentali:
- regola della somma: \displaystyle \sum_j F_{ij}=1 (tutta la radiazione va da qualche parte);
- regola di reciprocità: A_i F_{ij}=A_j F_{ji}.
Lo scambio netto tra due superfici nere: \dot{Q}_{12}=A_1 F_{12}\sigma(T_1^4-T_2^4). Per superfici grigie si introducono le resistenze radiative (emissività <1). \sigma=5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{K}^4).
1. Regola della somma
Esercizio. Una superficie 1 è racchiusa e “vede” solo due superfici, 2 e 3. Se F_{12}=0{,}30, quanto vale F_{13}?
Dalla regola della somma (F_{11}=0 se la superficie è piana o convessa):
F_{11}+F_{12}+F_{13}=1\ \Rightarrow\ 0+0{,}30+F_{13}=1\ \Rightarrow\ F_{13}=0{,}70.
2. Regola di reciprocità
Esercizio. Due superfici hanno A_1=2{,}0\ \text{m}^2, A_2=5{,}0\ \text{m}^2 e F_{12}=0{,}40. Calcolare F_{21}.
Da A_1 F_{12}=A_2 F_{21}:
F_{21}=\dfrac{A_1 F_{12}}{A_2}=\dfrac{2{,}0\times0{,}40}{5{,}0}=\dfrac{0{,}80}{5{,}0}=0{,}16.
3. Superficie completamente racchiusa
Esercizio. Una piccola sfera (superficie 1) è dentro una grande cavità (superficie 2). Quanto vale F_{12}?
Tutta la radiazione che lascia la sfera convessa raggiunge la cavità che la circonda:
F_{12}=1.
(Per reciprocità F_{21}=A_1/A_2: la cavità “vede” la sfera solo per la frazione A_1/A_2.)
4. Scambio tra due superfici nere
Esercizio. Due superfici nere parallele, A_1=A_2=3{,}0\ \text{m}^2, F_{12}=0{,}80, a T_1=800\ \text{K} e T_2=400\ \text{K}. Calcolare lo scambio netto.
Passo 1 — quarte potenze. 800^4=4{,}096\times10^{11}; 400^4=2{,}56\times10^{10}; differenza =3{,}84\times10^{11}.
Passo 2 — scambio netto.
5. Scambio tra superfici grigie parallele
Per due grandi superfici grigie parallele infinite, lo scambio netto è:
Esercizio. Due lastre parallele (A=2{,}0\ \text{m}^2) a T_1=600\ \text{K} e T_2=300\ \text{K}, con \varepsilon_1=0{,}80, \varepsilon_2=0{,}60. Scambio netto?
Passo 1 — fattore di emissività.
\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1=\dfrac{1}{0{,}80}+\dfrac{1}{0{,}60}-1=1{,}25+1{,}667-1=1{,}917.
Passo 2 — quarte potenze. 600^4=1{,}296\times10^{11}; 300^4=8{,}10\times10^{9}; differenza =1{,}215\times10^{11}.
Passo 3 — scambio.
6. Effetto di uno schermo radiativo
Uno schermo radiativo (lastra sottile tra le due superfici) riduce lo scambio. Con uno schermo a emissività \varepsilon_s su entrambe le facce, lo scambio si dimezza nel caso ideale (\varepsilon=1).
Esercizio. Tra due superfici nere si inserisce uno schermo nero (\varepsilon=1). Di quanto si riduce lo scambio?
Senza schermo: \dot{Q}_0=A\sigma(T_1^4-T_2^4). Con un schermo nero a temperatura intermedia, lo scambio si dimezza:
\dot{Q}=\dfrac{\dot{Q}_0}{2}.
Con n schermi neri lo scambio si riduce a \dot{Q}_0/(n+1): è il principio dell’isolamento multistrato (super-isolanti, vasi Dewar).
7. Schermo a bassa emissività
Esercizio. Perché uno schermo a bassa emissività (es. foglio di alluminio, \varepsilon=0{,}05) è molto più efficace di uno schermo nero?
Uno schermo a bassa \varepsilon riflette gran parte della radiazione incidente e ne emette poca. La resistenza radiativa è \propto1/\varepsilon, quindi una \varepsilon piccola (0{,}05) crea una resistenza enorme allo scambio. Un singolo foglio di alluminio può ridurre lo scambio radiativo di oltre il 90\%: è alla base degli isolanti riflettenti e delle coperte termiche.
8. Temperatura di equilibrio di uno schermo
Esercizio. Uno schermo nero tra due superfici nere a T_1=800\ \text{K} e T_2=400\ \text{K} raggiunge quale temperatura di equilibrio T_s?
A regime, il calore che lo schermo riceve da 1 eguaglia quello che cede a 2: \sigma(T_1^4-T_s^4)=\sigma(T_s^4-T_2^4), da cui T_s^4=\dfrac{T_1^4+T_2^4}{2}:
T_s^4=\dfrac{800^4+400^4}{2}=\dfrac{4{,}096\times10^{11}+2{,}56\times10^{10}}{2}=\dfrac{4{,}352\times10^{11}}{2}=2{,}176\times10^{11}.
T_s=(2{,}176\times10^{11})^{1/4}=683\ \text{K}.
Lo schermo si porta a 683\ \text{K} (media delle quarte potenze, non media aritmetica).
9. Frazione di radiazione tra superfici perpendicolari
Esercizio. Una superficie 1 scambia con 2 (F_{12}=0{,}25) e con l’ambiente 3. Quale frazione va all’ambiente?
Dalla regola della somma (superficie 1 piana, F_{11}=0):
F_{13}=1-F_{12}=1-0{,}25=0{,}75.
Il 75\% della radiazione emessa da 1 va all’ambiente.
10. Scambio con l’ambiente (cavità grande)
Esercizio. Un corpo grigio (A=0{,}50\ \text{m}^2, \varepsilon=0{,}70, T_1=500\ \text{K}) è in una grande stanza a T_2=300\ \text{K}. Calcolare lo scambio netto.
Per un corpo piccolo in una grande cavità, lo scambio si semplifica a \dot{Q}=\varepsilon_1 A_1\sigma(T_1^4-T_2^4):
Passo 1 — quarte potenze. 500^4=6{,}25\times10^{10}; 300^4=8{,}10\times10^9; differenza =5{,}44\times10^{10}.
Passo 2 — scambio.
(Solo l’emissività del corpo conta, perché la grande cavità si comporta come un corpo nero.)
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Regola della somma | \displaystyle \sum_j F_{ij}=1 |
| Reciprocità | A_i F_{ij}=A_j F_{ji} |
| Scambio neri | \dot{Q}=A_1 F_{12}\sigma(T_1^4-T_2^4) |
| Grigie parallele | \dot{Q}=\dfrac{A\sigma\Delta(T^4)}{1/\varepsilon_1+1/\varepsilon_2-1} |
| Corpo in cavità grande | \dot{Q}=\varepsilon_1 A_1\sigma(T_1^4-T_2^4) |
n schermi neri riducono lo scambio a 1/(n+1). Schermi a bassa \varepsilon molto più efficaci.
Errori da evitare:
- dimenticare la regola della somma (i fattori di vista sommano a 1);
- usare la media aritmetica per la temperatura di uno schermo (è media delle quarte potenze);
- trascurare l’emissività nello scambio tra superfici grigie (vale \varepsilon=1 solo per corpi neri).