L’induzione elettromagnetica genera una forza elettromotrice (fem) quando il flusso magnetico concatenato con un circuito varia nel tempo. La legge di Faraday:
\varepsilon=-N\dfrac{d\Phi}{dt},
dove \Phi=BA\cos\theta è il flusso e N il numero di spire. Il segno meno è la legge di Lenz: la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso che la genera. Per una sbarra conduttrice di lunghezza L che si muove a velocità v perpendicolare a B: \varepsilon=BLv.
1. Flusso magnetico
Esercizio. Una spira di area A=0{,}02\ \text{m}^2 è immersa in un campo B=0{,}50\ \text{T} perpendicolare. Calcolare il flusso.
Con \theta=0 (campo perpendicolare alla spira, \cos0=1):
\Phi=BA\cos0=0{,}50\times0{,}02\times1=0{,}010\ \text{Wb}.
2. Flusso con campo inclinato
Esercizio. La stessa spira è inclinata, con il campo a 60° dalla normale. Quale flusso?
\Phi=BA\cos60°=0{,}50\times0{,}02\times0{,}50=5{,}0\times10^{-3}\ \text{Wb}.
3. fem indotta da variazione di campo
Esercizio. Una spira (A=0{,}05\ \text{m}^2) è in un campo che varia da B_1=0{,}20\ \text{T} a B_2=0{,}80\ \text{T} in \Delta t=0{,}30\ \text{s}. Calcolare la fem indotta.
Passo 1 — variazione di flusso (area costante, perpendicolare):
\Delta\Phi=A\,\Delta B=0{,}05\times(0{,}80-0{,}20)=0{,}05\times0{,}60=0{,}030\ \text{Wb}.
Passo 2 — fem (modulo):
\varepsilon=\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\dfrac{0{,}030}{0{,}30}=0{,}10\ \text{V}.
4. fem in una bobina
Esercizio. Una bobina di N=200 spire subisce una variazione di flusso d\Phi/dt=2{,}5\times10^{-3}\ \text{Wb/s}. Calcolare la fem.
\varepsilon=N\dfrac{d\Phi}{dt}=200\times2{,}5\times10^{-3}=0{,}50\ \text{V}.
5. Sbarra conduttrice in moto
Esercizio. Una sbarra di L=0{,}40\ \text{m} si muove a v=3{,}0\ \text{m/s} perpendicolarmente a un campo B=0{,}25\ \text{T}. Calcolare la fem indotta.
\varepsilon=BLv=0{,}25\times0{,}40\times3{,}0=0{,}30\ \text{V}.
6. Corrente indotta nella sbarra
Esercizio. La sbarra precedente (\varepsilon=0{,}30\ \text{V}) è collegata a un circuito di resistenza R=2{,}0\ \Omega. Quale corrente indotta?
I=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{0{,}30}{2{,}0}=0{,}15\ \text{A}.
7. Forza per muovere la sbarra
Esercizio. Per la sbarra precedente, quale forza serve per mantenerla in moto a velocità costante? (B=0{,}25\ \text{T}, L=0{,}40\ \text{m}, I=0{,}15\ \text{A}).
A velocità costante, la forza applicata bilancia la forza magnetica frenante sulla sbarra (legge di Lenz):
F=BIL=0{,}25\times0{,}15\times0{,}40=0{,}015\ \text{N}.
Il lavoro di questa forza è la fonte dell’energia elettrica generata.
8. Legge di Lenz: verso della corrente
Esercizio. Una spira si avvicina al polo nord di un magnete (il flusso entrante aumenta). In che verso scorre la corrente indotta?
Per la legge di Lenz, la corrente si oppone all’aumento di flusso: genera un campo che respinge il magnete, quindi la spira si comporta come un polo nord rivolto verso il magnete. Vista dal magnete, la corrente scorre in senso antiorario. La spira viene frenata (conservazione dell’energia).
9. fem da rotazione (alternatore)
Una spira che ruota a velocità angolare \omega in un campo B genera una fem alternata \varepsilon=NBA\omega\sin(\omega t), con ampiezza \varepsilon_0=NBA\omega.
Esercizio. Una bobina di N=100 spire, area A=0{,}02\ \text{m}^2, ruota a \omega=314\ \text{rad/s} in un campo B=0{,}30\ \text{T}. Quale fem massima?
\varepsilon_0=NBA\omega=100\times0{,}30\times0{,}02\times314=100\times0{,}30\times6{,}28=188\ \text{V}.
È il principio dell’alternatore (generatore di corrente alternata).
10. Carica indotta totale
La carica totale che fluisce è q=\dfrac{N\Delta\Phi}{R}, indipendente dalla rapidità.
Esercizio. Una bobina (N=50, R=10\ \Omega) subisce una variazione di flusso \Delta\Phi=4{,}0\times10^{-3}\ \text{Wb}. Quanta carica fluisce?
q=\dfrac{N\Delta\Phi}{R}=\dfrac{50\times4{,}0\times10^{-3}}{10}=\dfrac{0{,}20}{10}=0{,}020\ \text{C}.
La carica dipende solo dalla variazione totale di flusso, non da quanto velocemente avviene.
11. Flusso sinusoidale e fem istantanea
Esercizio. Una bobina con N=200 spire ha flusso per spira
Trovare la fem indotta \varepsilon(t).
Per Faraday:
Deriviamo:
Quindi
Il segno e la fase derivano direttamente dalla legge di Lenz: la fem si oppone alla variazione del flusso, non al valore del flusso.
12. Fem efficace di un alternatore
Esercizio. Una bobina ha fem massima \varepsilon_0=188\ \text{V}. Qual è il valore efficace?
Per una sinusoide:
Quindi
Il valore efficace è quello che produce la stessa potenza media su una resistenza. Non coincide con il valore massimo.
13. Potenza dissipata nella sbarra
Esercizio. Per la sbarra con \varepsilon=0{,}30\ \text{V} e R=2{,}0\ \Omega, calcolare la potenza elettrica dissipata e confrontarla con la potenza meccanica richiesta.
La potenza elettrica dissipata è
Dal punto 6, I=0{,}15\ \text{A}:
La potenza meccanica necessaria è
Dal punto 7, F=0{,}015\ \text{N} e v=3{,}0\ \text{m/s}:
Le due potenze coincidono: il lavoro meccanico contro la forza di Lenz si trasforma in energia elettrica dissipata per effetto Joule.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Flusso magnetico | \Phi=BA\cos\theta |
| Legge di Faraday | \varepsilon=-N\,d\Phi/dt |
| Sbarra in moto | \varepsilon=BLv |
| fem da rotazione | \varepsilon_0=NBA\omega |
| Carica indotta | q=N\Delta\Phi/R |
| Valore efficace sinusoidale | \varepsilon_{\text{rms}}=\varepsilon_0/\sqrt2 |
Legge di Lenz: la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso (conservazione energia).
Errori da evitare:
- dimenticare il numero di spire N nella legge di Faraday;
- sbagliare il verso della corrente indotta (Lenz: si oppone alla variazione);
- credere che una fem nasca da un flusso costante (serve la sua variazione).
- confondere fem massima e fem efficace negli alternatori;
- dimenticare che la potenza meccanica fornita alimenta la dissipazione elettrica nel circuito.