Una guida d’onda è un condotto metallico cavo che convoglia onde elettromagnetiche ad alta frequenza (microonde). A differenza dei cavi, propaga solo onde con frequenza superiore a una frequenza di taglio. I modi di propagazione sono TE (campo elettrico trasversale) e TM (campo magnetico trasversale). Per una guida rettangolare di lato maggiore a, la frequenza di taglio del modo dominante TE₁₀ è:
f_c=\dfrac{c}{2a}.
La velocità di fase v_f=\dfrac{c}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}} supera c, mentre la velocità di gruppo v_g=c\sqrt{1-(f_c/f)^2} resta sotto c (è la velocità del segnale).
1. Frequenza di taglio (modo dominante)
Esercizio. Una guida rettangolare ha lato maggiore a=2{,}0\ \text{cm}. Calcolare la frequenza di taglio del modo TE₁₀.
f_c=\dfrac{c}{2a}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{2\times0{,}020}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{0{,}040}=7{,}5\times10^9\ \text{Hz}=7{,}5\ \text{GHz}.
Solo onde sopra 7{,}5\ \text{GHz} si propagano in questo modo.
2. Propagazione o attenuazione
Esercizio. Un segnale a f=10\ \text{GHz} entra nella guida precedente (f_c=7{,}5\ \text{GHz}). Si propaga?
f=10\ \text{GHz}>f_c=7{,}5\ \text{GHz}\ \Rightarrow\ \text{si propaga}.
Sopra la frequenza di taglio l’onda viaggia; sotto, viene attenuata esponenzialmente (modo evanescente).
3. Segnale sotto taglio
Esercizio. Un segnale a f=5{,}0\ \text{GHz} entra nella stessa guida (f_c=7{,}5\ \text{GHz}). Cosa accade?
f=5{,}0\ \text{GHz}<f_c=7{,}5\ \text{GHz}\ \Rightarrow\ \text{non si propaga (evanescente)}.
L’onda decade esponenzialmente lungo la guida senza trasportare energia: la guida funziona da filtro passa-alto.
4. Lunghezza d’onda nella guida
Esercizio. Calcolare la lunghezza d’onda nella guida per f=10\ \text{GHz} (f_c=7{,}5\ \text{GHz}). (formula \lambda_g=\dfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}).
Passo 1 — lunghezza d’onda nel vuoto. \lambda_0=c/f=3{,}00\times10^8/10^{10}=0{,}030\ \text{m}=3{,}0\ \text{cm}.
Passo 2 — fattore. 1-(f_c/f)^2=1-(7{,}5/10)^2=1-0{,}5625=0{,}4375; \sqrt{0{,}4375}=0{,}661.
Passo 3 — lunghezza d’onda nella guida.
\lambda_g=\dfrac{\lambda_0}{0{,}661}=\dfrac{3{,}0}{0{,}661}=4{,}54\ \text{cm}.
La lunghezza d’onda nella guida è maggiore di quella nel vuoto.
5. Velocità di fase
Esercizio. Calcolare la velocità di fase per il caso precedente (f=10\ \text{GHz}, f_c=7{,}5\ \text{GHz}).
v_f=\dfrac{c}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}=\dfrac{3{,}00\times10^8}{0{,}661}=4{,}54\times10^8\ \text{m/s}.
La velocità di fase supera c (ma non viola la relatività: non trasporta informazione).
6. Velocità di gruppo
Esercizio. Calcolare la velocità di gruppo per lo stesso caso.
v_g=c\sqrt{1-(f_c/f)^2}=3{,}00\times10^8\times0{,}661=1{,}98\times10^8\ \text{m/s}.
La velocità di gruppo (del segnale e dell’energia) resta sotto c, come deve essere.
7. Relazione tra le velocità
Esercizio. Verificare che v_f\cdot v_g=c^2 per i valori trovati.
v_f\cdot v_g=4{,}54\times10^8\times1{,}98\times10^8=8{,}99\times10^{16}\approx(3{,}00\times10^8)^2=c^2. ✓
È una relazione generale nelle guide d’onda: il prodotto delle due velocità eguaglia c^2.
8. Dimensione della guida per una frequenza
Esercizio. Quale lato a serve perché la frequenza di taglio sia f_c=5{,}0\ \text{GHz}?
Isolando a da f_c=c/(2a):
9. Cavità risonante
Una cavità metallica chiusa risuona a frequenze discrete. Per una cavità cubica di lato L, la frequenza fondamentale è f=\dfrac{c}{\sqrt2\,L}.
Esercizio. Calcolare la frequenza fondamentale di una cavità cubica di lato L=5{,}0\ \text{cm}.
Le cavità risonanti sono usate nei forni a microonde e negli oscillatori di precisione.
10. Perché le guide hanno una frequenza di taglio
Esercizio. Spiegare fisicamente l’origine della frequenza di taglio.
L’onda nella guida “rimbalza” sulle pareti con un angolo che dipende dalla frequenza. Per propagarsi lungo la guida, la lunghezza d’onda deve “entrare” nella sezione: se \lambda è troppo grande (frequenza troppo bassa), l’onda non può formare il pattern trasversale necessario e diventa evanescente. La frequenza di taglio è quella minima per cui mezza lunghezza d’onda eguaglia il lato a (\lambda_c=2a, da cui f_c=c/2a).
11. Frequenza di taglio generale in guida rettangolare
Esercizio. Una guida rettangolare ha lati a=3{,}0\ \text{cm} e b=1{,}5\ \text{cm}. Calcolare la frequenza di taglio del modo TE_{20}.
Per una guida rettangolare:
Per TE_{20}, m=2, n=0:
Quindi:
Il modo TE_{20} ha taglio più alto del modo dominante TE_{10}, che nella stessa guida avrebbe f_c=5{,}0\ \text{GHz}.
12. Banda monomodale
Esercizio. Per una guida rettangolare con a=3{,}0\ \text{cm} e b=1{,}5\ \text{cm}, trovare l’intervallo di frequenze in cui si propaga solo il modo TE_{10}.
Il modo dominante ha:
I modi successivi più bassi sono TE_{20} e TE_{01}:
Quindi la propagazione monomodale ideale è:
Sotto 5\ \text{GHz} non propaga nemmeno TE_{10}; sopra 10\ \text{GHz} compaiono modi superiori e il campo non è più monomodale.
13. Attenuazione sotto taglio
Esercizio. Perché un tratto di guida sotto taglio può essere usato come attenuatore?
Se f<f_c, la costante di propagazione lungo la guida non è reale: il modo diventa evanescente. Il campo non trasporta potenza lungo la guida come onda progressiva, ma decade esponenzialmente:
Un tratto più lungo produce attenuazione maggiore. Questa proprietà è usata in filtri passa-alto, accoppiamenti deboli e sezioni di isolamento alle microonde.
La guida sotto taglio non “blocca istantaneamente” il campo: permette penetrazione evanescente su una lunghezza finita, ma non propagazione indefinita di energia.
Sintesi
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Frequenza di taglio TE₁₀ | f_c=c/(2a) |
| Taglio generale | f_{c,mn}=\dfrac{c}{2}\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2} |
| Lunghezza d’onda guida | \lambda_g=\lambda_0/\sqrt{1-(f_c/f)^2} |
| Velocità di fase | v_f=c/\sqrt{1-(f_c/f)^2} |
| Velocità di gruppo | v_g=c\sqrt{1-(f_c/f)^2} |
| Relazione | v_f\,v_g=c^2 |
Propaga solo se f>f_c. La velocità di fase supera c, quella di gruppo no.
Errori da evitare:
- credere che la velocità di fase >c violi la relatività (non trasporta informazione);
- usare la lunghezza d’onda del vuoto invece di quella nella guida (\lambda_g>\lambda_0);
- dimenticare che sotto la frequenza di taglio non c’è propagazione (modo evanescente).
- ignorare i modi superiori: sopra il loro taglio la guida può diventare multimodale;
- usare solo a per tutti i modi: nei modi con indice n\neq0 conta anche il lato b.