Il gas perfetto obbedisce all’equazione di stato
PV=nRT,\qquad R=8{,}314\ \dfrac{\text{J}}{\text{mol·K}}.
In termodinamica interessa soprattutto il lavoro scambiato nelle trasformazioni, che nel piano PV è l’area sotto la curva:
L=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV.
Le trasformazioni notevoli: isobara (P cost), isocora (V cost, L=0), isoterma (T cost), adiabatica (Q=0). Convenzione: L>0 se il gas si espande (compie lavoro). La temperatura va sempre in kelvin.
1. Equazione di stato: trovare un’incognita
Esercizio. 2{,}0\ \text{mol} di gas perfetto occupano V=0{,}050\ \text{m}^3 a T=300\ \text{K}. Quale pressione?
P=\dfrac{nRT}{V}=\dfrac{2{,}0\times8{,}314\times300}{0{,}050}=\dfrac{4988}{0{,}050}=9{,}98\times10^4\ \text{Pa}\approx0{,}99\ \text{bar}.
2. Trasformazione isobara: lavoro
A pressione costante il lavoro è L=P\,\Delta V (area di un rettangolo nel piano PV).
Esercizio. Un gas a P=1{,}0\times10^5\ \text{Pa} si espande da V_1=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3 a V_2=5{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3. Quale lavoro compie?
L=P(V_2-V_1)=1{,}0\times10^5\times(5{,}0-2{,}0)\times10^{-3}=1{,}0\times10^5\times3{,}0\times10^{-3}=300\ \text{J}.
Positivo: il gas si espande e compie lavoro sull’ambiente.
3. Isobara: variazione di temperatura
Esercizio. Per la trasformazione precedente, se inizialmente T_1=240\ \text{K}, quale temperatura finale (a P costante)?
A pressione costante V/T è costante (legge di Charles):
\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}\ \Rightarrow\ T_2=T_1\dfrac{V_2}{V_1}=240\times\dfrac{5{,}0}{2{,}0}=600\ \text{K}.
4. Trasformazione isocora: lavoro nullo
A volume costante non c’è spostamento, quindi L=0.
Esercizio. Un gas in un recipiente rigido viene scaldato da 300\ \text{K} a 450\ \text{K}. Quale lavoro compie?
Il volume è costante (dV=0), quindi:
L=\int P\,dV=0\ \text{J}.
Tutto il calore fornito va in energia interna (nessun lavoro). La pressione invece aumenta: P_2=P_1\,T_2/T_1.
5. Trasformazione isoterma: lavoro
A temperatura costante L=nRT\ln(V_2/V_1) (l’area sotto un’iperbole).
Esercizio. 1{,}0\ \text{mol} di gas si espande isotermicamente a T=350\ \text{K} da V_1=1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3 a V_2=3{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3. Quale lavoro?
Passo 1 — rapporto dei volumi. V_2/V_1=3{,}0, \ln3=1{,}099.
Passo 2 — lavoro.
L=nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}=1{,}0\times8{,}314\times350\times1{,}099=2910\times1{,}099=3198\ \text{J}\approx3{,}20\times10^3\ \text{J}.
6. Isoterma: pressione finale
Esercizio. Per l’isoterma precedente, quale pressione finale se P_1=2{,}9\times10^6\ \text{Pa}?
A temperatura costante PV è costante (legge di Boyle):
P_1V_1=P_2V_2\ \Rightarrow\ P_2=P_1\dfrac{V_1}{V_2}=2{,}9\times10^6\times\dfrac{1{,}0}{3{,}0}=9{,}67\times10^5\ \text{Pa}.
7. Lavoro come area nel piano PV
Esercizio. Un gas compie il seguente percorso: isobara da A a B (P=2\times10^5\ \text{Pa}, da V=1 a 3\ \text{L}), poi isocora da B a C (V=3\ \text{L}, pressione scende). Calcolare il lavoro totale fino a C.
Passo 1 — lavoro isobara A→B.
L_{AB}=P\,\Delta V=2\times10^5\times(3-1)\times10^{-3}=2\times10^5\times2\times10^{-3}=400\ \text{J}.
Passo 2 — lavoro isocora B→C. Volume costante, L_{BC}=0.
Passo 3 — lavoro totale.
L=L_{AB}+L_{BC}=400+0=400\ \text{J}.
8. Lavoro in un ciclo (area racchiusa)
In un ciclo chiuso il lavoro netto è l’area racchiusa dal ciclo nel piano PV: positivo se percorso in senso orario.
Esercizio. Un ciclo rettangolare nel piano PV ha lati \Delta P=1{,}0\times10^5\ \text{Pa} e \Delta V=2{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3, percorso in senso orario. Quale lavoro netto per ciclo?
L’area racchiusa è il prodotto dei lati:
L_\text{netto}=\Delta P\times\Delta V=1{,}0\times10^5\times2{,}0\times10^{-3}=200\ \text{J}.
Senso orario → lavoro positivo (il gas compie lavoro netto sull’ambiente: è una macchina termica).
9. Confronto isoterma vs isobara (stessa espansione)
Esercizio. 1{,}0\ \text{mol} di gas si espande da V_1=2{,}0\times10^{-3} a V_2=4{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3. Confrontare il lavoro se la trasformazione è isobara (P=1{,}25\times10^6\ \text{Pa}) o isoterma (T tale da partire dalla stessa P_1).
Isobara:
L=P\,\Delta V=1{,}25\times10^6\times2{,}0\times10^{-3}=2500\ \text{J}.
Isoterma (parte da P_1=1{,}25\times10^6\ \text{Pa}, T=P_1V_1/(nR)=1{,}25\times10^6\times2{,}0\times10^{-3}/8{,}314=300{,}7\ \text{K}):
L=nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}=1{,}0\times8{,}314\times300{,}7\times\ln2=2500\times0{,}693=1733\ \text{J}.
L’isobara compie più lavoro: a pressione costante l’area sotto la curva è maggiore che sotto l’iperbole isoterma decrescente.
10. Pressione e temperatura a volume costante
Esercizio. Un gas in recipiente rigido passa da P_1=1{,}0\times10^5\ \text{Pa} a T_1=300\ \text{K}. A quale pressione arriva a T_2=400\ \text{K}?
A volume costante P/T è costante (legge di Gay-Lussac):
P_2=P_1\dfrac{T_2}{T_1}=1{,}0\times10^5\times\dfrac{400}{300}=1{,}33\times10^5\ \text{Pa}.
Sintesi
| Trasformazione | Costante | Lavoro |
|---|---|---|
| Isobara | P | L=P\Delta V |
| Isocora | V | L=0 |
| Isoterma | T | L=nRT\ln(V_2/V_1) |
| Ciclo | — | L_\text{netto}= area racchiusa |
Leggi dei gas: Boyle (PV cost), Charles (V/T cost), Gay-Lussac (P/T cost).
Errori da evitare:
- usare °C invece di K nell’equazione di stato e nelle leggi dei gas;
- dimenticare che il lavoro isocoro è nullo (dV=0);
- confondere il lavoro isobaro (P\Delta V) con quello isotermo (nRT\ln).