La forza che un fluido in quiete esercita su una superficie piana immersa si ottiene dalla pressione nel suo baricentro moltiplicata per l’area:
F=p_G\,A=\rho g h_G\,A,
dove h_G è la profondità del baricentro della superficie. Il punto di applicazione della risultante, il centro di spinta, è sempre più in basso del baricentro perché la pressione cresce con la profondità. Per una superficie verticale di altezza H con bordo superiore a pelo libero, il centro di spinta si trova a \dfrac{2}{3} H dalla superficie (a \dfrac{1}{3} H dal fondo). Su superfici curve si decompone la spinta in componente orizzontale (proiezione verticale) e verticale (peso del volume di fluido sovrastante).
1. Forza su parete verticale (bordo a pelo libero)
Esercizio. Una paratoia verticale rettangolare (larghezza b=2{,}0\ \text{m}) trattiene acqua per un’altezza H=3{,}0\ \text{m} (\rho=1000\ \text{kg/m}^3). Quale forza risultante?
Passo 1 — baricentro a metà altezza, profondità h_G=H/2=1{,}5\ \text{m}:
p_G=\rho g h_G=1000\times9{,}8\times1{,}5=14\,700\ \text{Pa}.
Passo 2 — forza (A=bH=6{,}0\ \text{m}^2):
F=p_G\,A=14\,700\times6{,}0=88\,200\ \text{N}\approx88\ \text{kN}.
2. Centro di spinta su parete verticale
Esercizio. Per la paratoia precedente, a quale profondità agisce la risultante?
Per una distribuzione triangolare di pressione (zero in superficie, massima sul fondo) la risultante è a \dfrac{2}{3} dell’altezza dal pelo libero:
h_C=\dfrac{2}{3}H=\dfrac{2}{3}\times3{,}0=2{,}0\ \text{m}.
Equivalente: a \dfrac{1}{3} H=1{,}0\ \text{m} dal fondo. Il momento per aprire la paratoia va calcolato rispetto a questo punto, non al baricentro.
3. Centro di spinta con la formula generale
Esercizio. Una finestra rettangolare verticale (b=1{,}0\ \text{m}, altezza a=0{,}80\ \text{m}) ha il bordo superiore a profondità d=2{,}0\ \text{m}. A quale profondità il centro di spinta?
Si usa h_C=h_G+\dfrac{I_G}{h_G A}, con I_G=\dfrac{b\,a^3}{12} momento d’inerzia baricentrico.
Passo 1 — baricentro. h_G=d+a/2=2{,}0+0{,}40=2{,}40\ \text{m}; A=b\,a=0{,}80\ \text{m}^2.
Passo 2 — momento d’inerzia. I_G=\dfrac{1{,}0\times0{,}80^3}{12}=\dfrac{0{,}512}{12}=0{,}0427\ \text{m}^4.
Passo 3 — centro di spinta.
h_C=h_G+\dfrac{I_G}{h_G A}=2{,}40+\dfrac{0{,}0427}{2{,}40\times0{,}80}=2{,}40+0{,}0222=2{,}42\ \text{m}.
Più la superficie è profonda, più il centro di spinta si avvicina al baricentro (il termine correttivo \to0).
4. Forza su parete inclinata
Esercizio. Una paratoia (b=2{,}0\ \text{m}) inclinata di \theta=60° sull’orizzontale trattiene acqua di profondità verticale H=3{,}0\ \text{m}. Quale forza preme sulla superficie?
La forza usa la pressione nel baricentro (profondità verticale H/2) e l’area effettiva della parete bagnata. La lunghezza inclinata è L=H/\sin\theta.
Passo 1 — area bagnata. L=3{,}0/\sin60°=3{,}0/0{,}866=3{,}46\ \text{m}, quindi A=bL=6{,}93\ \text{m}^2.
Passo 2 — pressione nel baricentro (profondità verticale H/2=1{,}5\ \text{m}):
p_G=\rho g\dfrac{H}{2}=1000\times9{,}8\times1{,}5=14\,700\ \text{Pa}.
Passo 3 — forza (normale alla parete):
F=p_G\,A=14\,700\times6{,}93=1{,}02\times10^5\ \text{N}.
Maggiore che sulla parete verticale: la superficie bagnata è più estesa.
5. Momento per aprire una paratoia incernierata
Esercizio. La paratoia verticale dell’esercizio 1 (F=88\,200\ \text{N}, centro di spinta a \dfrac{1}{3} H=1{,}0\ \text{m} dal fondo) è incernierata sul fondo. Quale momento serve per tenerla chiusa?
Il momento rispetto alla cerniera (sul fondo) è forza × braccio (distanza cerniera–centro di spinta):
M=F\times\dfrac{H}{3}=88\,200\times1{,}0=88\,200\ \text{N·m}\approx88\ \text{kN·m}.
6. Forza su una diga
Esercizio. Una diga rettilinea larga b=50\ \text{m} trattiene un lago profondo H=12\ \text{m}. Quale forza orizzontale totale e a quale quota agisce?
Passo 1 — forza risultante (h_G=H/2=6{,}0\ \text{m}, A=bH=600\ \text{m}^2):
F=\rho g\dfrac{H}{2}\,bH=1000\times9{,}8\times6{,}0\times600=3{,}53\times10^7\ \text{N}\approx35\ \text{MN}.
Passo 2 — quota del centro di spinta. A \dfrac{1}{3} H=4{,}0\ \text{m} dal fondo.
La forza è enorme e applicata nel terzo inferiore: per questo le dighe a gravità sono massicce alla base.
7. Spinta su una superficie curva — componente orizzontale
Esercizio. Una paratoia a quarto di cerchio (raggio R=2{,}0\ \text{m}, larghezza b=3{,}0\ \text{m}) trattiene acqua fino al bordo superiore. Quale componente orizzontale della spinta?
La componente orizzontale uguaglia la forza sulla proiezione verticale della superficie (un rettangolo R\times b, baricentro a R/2):
F_x=\rho g\dfrac{R}{2}\,(Rb)=1000\times9{,}8\times1{,}0\times(2{,}0\times3{,}0)=58\,800\ \text{N}\approx59\ \text{kN}.
8. Spinta su una superficie curva — componente verticale
Esercizio. Per la stessa paratoia a quarto di cerchio, quale componente verticale e quale spinta totale?
Passo 1 — componente verticale = peso del volume d’acqua sovrastante la superficie (quarto di cilindro, V=\dfrac{1}{4}\pi R^2\,b):
Passo 2 — risultante.
F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{58\,800^2+92\,400^2}=\sqrt{3{,}458\times10^9+8{,}538\times10^9}=1{,}10\times10^5\ \text{N}.
La spinta totale vale \approx110\ \text{kN}, inclinata di \arctan(F_y/F_x)=\arctan(1{,}57)=57{,}5° sull’orizzontale.
9. Paratoia con liquido su entrambi i lati
Esercizio. Una paratoia verticale (b=2{,}0\ \text{m}) ha acqua alta H_1=3{,}0\ \text{m} da un lato e H_2=1{,}0\ \text{m} dall’altro. Quale forza netta?
Le due spinte triangolari si oppongono; la risultante è la differenza (F=\dfrac{1}{2}\rho g H^2 b per ciascun lato):
F_\text{net}=\dfrac{1}{2}\rho g b\,(H_1^2-H_2^2)=\dfrac{1}{2}\times1000\times9{,}8\times2{,}0\times(9{,}0-1{,}0).
F_\text{net}=9800\times8{,}0=78\,400\ \text{N}\approx78\ \text{kN},
diretta verso il lato con meno acqua.
10. Forza sul fondo inclinato di un canale
Esercizio. Il fondo di un serbatoio è una lastra inclinata di \theta=30°, larga b=1{,}5\ \text{m} e lunga L=4{,}0\ \text{m}; il punto più alto è a profondità d_1=1{,}0\ \text{m}. Quale forza sulla lastra?
Passo 1 — profondità del baricentro. Il baricentro è a metà lastra; la sua profondità verticale è h_G=d_1+\dfrac{L}{2}\sin\theta=1{,}0+2{,}0\times0{,}5=2{,}0\ \text{m}.
Passo 2 — forza (A=bL=6{,}0\ \text{m}^2):
F=\rho g h_G\,A=1000\times9{,}8\times2{,}0\times6{,}0=1{,}176\times10^5\ \text{N}\approx118\ \text{kN}.
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Forza su superficie piana | F=\rho g h_G\,A |
| Centro di spinta (parete verticale) | h_C=\dfrac{2}{3} H dal pelo |
| Centro di spinta (generale) | h_C=h_G+I_G/(h_G A) |
| Forza su parete (distribuzione triangolare) | F=\dfrac{1}{2}\rho g H^2 b |
| Componente orizzontale (curva) | spinta sulla proiezione verticale |
| Componente verticale (curva) | peso del volume sovrastante |
Errori da evitare:
- usare la pressione massima (sul fondo) invece di quella nel baricentro per la forza;
- applicare la risultante nel baricentro: il centro di spinta è più in basso (\dfrac{2}{3} H per parete verticale a pelo libero);
- su parete inclinata, usare l’area proiettata invece dell’area effettiva bagnata per la forza normale;
- su superficie curva, dimenticare che la componente verticale è il peso del volume di fluido sovrastante;
- nel calcolo del momento su una paratoia, usare il braccio del baricentro invece di quello del centro di spinta.