Forza magnetica e legge di Lorentz: esercizi svolti

La forza di Lorentz agisce su una carica $q$ in moto con velocità $v$ in un campo magnetico $B$ :

$F=qvB\sin\theta,$

dove $\theta$ è l’angolo tra velocità e campo. La forza è massima quando $v\perp B$ ( $\theta=90°$ ), nulla quando $v\parallel B$ . È sempre perpendicolare sia a $v$ sia a $B$ (regola della mano destra), quindi non compie lavoro: cambia la direzione, non il modulo della velocità. Una carica in un campo uniforme perpendicolare percorre una traiettoria circolare. Su un filo percorso da corrente: $F=BIL\sin\theta$ .

1. Forza su una carica in moto

Esercizio. Un protone ( $q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ ) si muove a $v=2{,}0\times10^6\ \text{m/s}$ perpendicolarmente a un campo $B=0{,}50\ \text{T}$ . Calcolare la forza.

Con $\theta=90°$ ( $\sin90°=1$ ):

$F=qvB=1{,}6\times10^{-19}\times2{,}0\times10^6\times0{,}50=1{,}6\times10^{-13}\ \text{N}.$

2. Forza con velocità inclinata

Esercizio. La stessa carica si muove a $30°$ rispetto al campo. Quale forza?

$F=qvB\sin30°=1{,}6\times10^{-19}\times2{,}0\times10^6\times0{,}50\times0{,}50=8{,}0\times10^{-14}\ \text{N}.$

Solo la componente di velocità perpendicolare a $B$ contribuisce.

3. Forza nulla

Esercizio. Una carica si muove parallelamente al campo magnetico. Quale forza?

Con $\theta=0$ ( $\sin0=0$ ):

$F=qvB\sin0=0\ \text{N}.$

Una carica che si muove lungo le linee di campo non subisce forza magnetica.

4. Raggio del moto circolare

In un campo perpendicolare, la forza magnetica fa da centripeta: $qvB=\dfrac{mv^2}{r}$ , da cui $r=\dfrac{mv}{qB}$ .

Esercizio. Un elettrone ( $m=9{,}11\times10^{-31}\ \text{kg}$ , $q=1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$ ) entra a $v=3{,}0\times10^6\ \text{m/s}$ perpendicolarmente a $B=0{,}010\ \text{T}$ . Calcolare il raggio.

\begin{aligned} r&=\dfrac{mv}{qB}\\ &=\dfrac{9{,}11\times10^{-31}\times3{,}0\times10^6}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}010}\\ &=\dfrac{2{,}73\times10^{-24}}{1{,}6\times10^{-21}}\\ &=1{,}71\times10^{-3}\ \text{m}\\ &=1{,}71\ \text{mm}. \end{aligned}

5. Periodo del moto circolare

Il periodo $T=\dfrac{2\pi m}{qB}$ è indipendente dalla velocità.

Esercizio. Calcolare il periodo del moto dell’elettrone precedente ( $B=0{,}010\ \text{T}$ ).

\begin{aligned} T&=\dfrac{2\pi m}{qB}\\ &=\dfrac{2\pi\times9{,}11\times10^{-31}}{1{,}6\times10^{-19}\times0{,}010}\\ &=\dfrac{5{,}72\times10^{-30}}{1{,}6\times10^{-21}}\\ &=3{,}58\times10^{-9}\ \text{s}\\ &=3{,}58\ \text{ns}. \end{aligned}

Il periodo non dipende da $v$ : è la base del ciclotrone.

6. Forza su un filo percorso da corrente

Esercizio. Un filo lungo $L=0{,}40\ \text{m}$ percorso da $I=5{,}0\ \text{A}$ è perpendicolare a un campo $B=0{,}30\ \text{T}$ . Calcolare la forza.

$F=BIL\sin90°=0{,}30\times5{,}0\times0{,}40\times1=0{,}60\ \text{N}.$

7. Forza su un filo inclinato

Esercizio. Lo stesso filo forma un angolo di $45°$ con il campo. Quale forza?

$F=BIL\sin45°=0{,}30\times5{,}0\times0{,}40\times0{,}707=0{,}424\ \text{N}.$

8. Selettore di velocità

In un selettore di velocità, campo elettrico e magnetico incrociati selezionano una velocità: passano indisturbate le cariche con $qE=qvB$ , cioè $v=E/B$ .

Esercizio. Un selettore ha $E=2{,}0\times10^5\ \text{V/m}$ e $B=0{,}10\ \text{T}$ . Quale velocità seleziona?

$v=\dfrac{E}{B}=\dfrac{2{,}0\times10^5}{0{,}10}=2{,}0\times10^6\ \text{m/s}.$

Le cariche più veloci o più lente vengono deviate; solo questa velocità attraversa il selettore.

9. Forza tra effetti elettrico e magnetico

Esercizio. Una carica $q=2{,}0\times10^{-6}\ \text{C}$ si muove a $v=1{,}0\times10^4\ \text{m/s}$ in una regione con $E=300\ \text{V/m}$ (parallelo) e $B=0{,}20\ \text{T}$ (perpendicolare a $v$ ). Forza totale (componenti)?

Passo 1 — forza elettrica. $F_E=qE=2{,}0\times10^{-6}\times300=6{,}0\times10^{-4}\ \text{N}$ (lungo $E$ ).

Passo 2 — forza magnetica.

F_B=qvB =2{,}0\times10^{-6}\times1{,}0\times10^4\times0{,}20 =4{,}0\times10^{-3}\ \text{N}.

È perpendicolare a $v$ e $B$ .

Passo 3 — le due forze sono perpendicolari (E parallelo a v, F_B perpendicolare): modulo risultante:

\begin{aligned} F&=\sqrt{F_E^2+F_B^2}\\ &=\sqrt{(6{,}0\times10^{-4})^2+(4{,}0\times10^{-3})^2}\\ &=\sqrt{3{,}6\times10^{-7}+1{,}6\times10^{-5}}\\ &=4{,}04\times10^{-3}\ \text{N}. \end{aligned}

10. Energia cinetica nel moto magnetico

Esercizio. Una carica percorre una traiettoria circolare in un campo magnetico. Come cambia la sua energia cinetica?

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi non compie lavoro:

$W=0\ \Rightarrow\ \Delta E_\text{cin}=0.$

L’energia cinetica (e il modulo della velocità) restano costanti: il campo magnetico cambia solo la direzione del moto, non l’energia.

Sintesi

Concetto	Formula
Forza su carica	$F=qvB\sin\theta$
Forza su filo	$F=BIL\sin\theta$
Raggio moto circolare	$r=mv/(qB)$
Periodo	$T=2\pi m/(qB)$ (indip. da $v$ )
Selettore velocità	$v=E/B$

La forza magnetica è perpendicolare a $v$ e $B$ , non compie lavoro.

Errori da evitare:

dimenticare il $\sin\theta$ (forza nulla se $v\parallel B$ , massima se perpendicolare);
credere che la forza magnetica acceleri la carica (cambia direzione, non modulo);
confondere raggio (dipende da $v$ ) e periodo (indipendente da $v$ ) del moto circolare.