Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie misura quante linee di campo l’attraversano: \Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}=EA\cos\theta per campo uniforme. Il teorema di Gauss lega il flusso attraverso una superficie chiusa alla carica racchiusa:
\Phi=\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0},\qquad\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\ \dfrac{\text{C}^2}{\text{N·m}^2}.
Il teorema è potentissimo per calcolare il campo di distribuzioni simmetriche, scegliendo una superficie gaussiana adatta (sfera, cilindro, parallelepipedo) su cui E è costante.
1. Flusso attraverso una superficie piana
Esercizio. Un campo uniforme E=500\ \text{N/C} attraversa una superficie piana di area A=0{,}20\ \text{m}^2 inclinata di 30° rispetto al campo (angolo tra E e la normale = 60°). Calcolare il flusso.
\Phi=EA\cos\theta=500\times0{,}20\times\cos60°=500\times0{,}20\times0{,}50=50\ \text{N·m}^2/\text{C}.
2. Flusso da una carica racchiusa
Esercizio. Una carica q=4{,}0\ \mu\text{C} è racchiusa in una superficie chiusa. Quale flusso totale?
Dal teorema di Gauss, il flusso dipende solo dalla carica interna:
\Phi=\dfrac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}=\dfrac{4{,}0\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}}=4{,}52\times10^5\ \text{N·m}^2/\text{C}.
Il flusso è indipendente dalla forma della superficie.
3. Flusso con cariche esterne
Esercizio. Una superficie racchiude q_1=+5\ \mu\text{C} e q_2=-3\ \mu\text{C}; una carica q_3=+8\ \mu\text{C} è all’esterno. Quale flusso totale?
Solo le cariche interne contano (quella esterna dà flusso netto nullo):
4. Campo di una sfera carica (Gauss)
Esercizio. Una sfera conduttrice di carica Q=6{,}0\ \mu\text{C} e raggio R=0{,}10\ \text{m}. Campo a r=0{,}20\ \text{m} dal centro.
Passo 1 — superficie gaussiana sferica di raggio r=0{,}20\ \text{m}. Per simmetria E è costante e radiale: \Phi=E\cdot4\pi r^2.
Passo 2 — teorema di Gauss.
E\cdot4\pi r^2=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=k\dfrac{Q}{r^2}.
Passo 3 — calcolo.
All’esterno la sfera si comporta come una carica puntiforme al centro.
5. Campo dentro un conduttore
Esercizio. Qual è il campo elettrico all’interno della sfera conduttrice precedente (r<R)?
In un conduttore in equilibrio la carica si distribuisce sulla superficie; una superficie gaussiana interna non racchiude carica:
\Phi=\dfrac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}=\dfrac{0}{\varepsilon_0}=0\ \Rightarrow\ E=0.
Il campo dentro un conduttore in equilibrio è sempre nullo (schermaggio elettrostatico, gabbia di Faraday).
6. Campo di un filo infinito carico
Esercizio. Un filo infinito ha densità lineare di carica \lambda=3{,}0\times10^{-6}\ \text{C/m}. Campo a r=0{,}05\ \text{m}.
Passo 1 — superficie gaussiana cilindrica di raggio r e lunghezza L. Il flusso attraversa solo la superficie laterale: \Phi=E\cdot2\pi r L.
Passo 2 — carica racchiusa. Q_\text{int}=\lambda L. Teorema di Gauss:
E\cdot2\pi r L=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
Passo 3 — calcolo.
Il campo del filo va come 1/r (non 1/r^2).
7. Campo di un piano infinito carico
Esercizio. Un piano infinito ha densità superficiale \sigma=2{,}0\times10^{-6}\ \text{C/m}^2. Calcolare il campo.
Passo 1 — superficie gaussiana a “scatola” che attraversa il piano: il flusso esce da entrambe le facce (\Phi=E\cdot2A).
Passo 2 — Gauss (Q_\text{int}=\sigma A):
E\cdot2A=\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Passo 3 — calcolo.
E=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{2\times8{,}85\times10^{-12}}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{1{,}77\times10^{-11}}=1{,}13\times10^5\ \text{N/C}.
Il campo di un piano infinito è uniforme (indipendente dalla distanza).
8. Campo tra due piani (condensatore)
Esercizio. Due piani paralleli con cariche opposte, ciascuno con \sigma=2{,}0\times10^{-6}\ \text{C/m}^2. Campo nella regione tra i piani.
Tra i piani i due campi (ciascuno \sigma/2\varepsilon_0) si sommano; all’esterno si annullano:
Questo è il campo uniforme di un condensatore piano.
9. Guscio sferico: campo interno ed esterno
Esercizio. Un guscio sferico sottile di raggio R=0{,}15\ \text{m} porta carica Q=4{,}0\ \mu\text{C}. Campo a r=0{,}10\ \text{m} (interno) e r=0{,}30\ \text{m} (esterno)?
Interno (r<R): nessuna carica racchiusa → E=0.
Esterno (r>R): si comporta come carica puntiforme:
E=k\dfrac{Q}{r^2}=8{,}99\times10^9\times\dfrac{4{,}0\times10^{-6}}{0{,}30^2}=3{,}99\times10^5\ \text{N/C}.
10. Carica racchiusa da flusso misurato
Esercizio. Il flusso totale attraverso una superficie chiusa è \Phi=9{,}0\times10^4\ \text{N·m}^2/\text{C}. Quale carica racchiude?
Da \Phi=Q/\varepsilon_0:
Q=\Phi\,\varepsilon_0=9{,}0\times10^4\times8{,}85\times10^{-12}=7{,}97\times10^{-7}\ \text{C}\approx0{,}80\ \mu\text{C}.
Sintesi
| Distribuzione | Campo | Andamento |
|---|---|---|
| Carica puntiforme / sfera | kQ/r^2 | 1/r^2 |
| Filo infinito | \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r) | 1/r |
| Piano infinito | \sigma/(2\varepsilon_0) | uniforme |
| Condensatore | \sigma/\varepsilon_0 | uniforme |
| Dentro conduttore | 0 | — |
Gauss: \Phi=Q_\text{int}/\varepsilon_0. Il flusso dipende solo dalla carica racchiusa.
Errori da evitare:
- includere le cariche esterne nel teorema di Gauss (contano solo quelle interne);
- usare la superficie gaussiana sbagliata (sfera, cilindro o scatola secondo la simmetria);
- confondere il campo del filo (1/r) con quello della carica puntiforme (1/r^2).