Fisica nucleare: decadimento radioattivo ed energia di legame

Il difetto di massa di un nucleo (massa minore della somma dei nucleoni) corrisponde all’energia di legame $E_B=\Delta m\,c^2$ , con $1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}/c^2$ . Il decadimento radioattivo segue una legge esponenziale:

$N(t)=N_0\,e^{-\lambda t},\qquad T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda},$

dove $\lambda$ è la costante di decadimento e $T_{1/2}$ il tempo di dimezzamento. L’attività è $A=\lambda N$ , misurata in becquerel ( $1\ \text{Bq}=1\ \text{decadimento/s}$ ; $1\ \text{Ci}=3{,}7\times10^{10}\ \text{Bq}$ ). Il Q-valore di una reazione è l’energia liberata, $Q=\Delta m\,c^2$ .

1. Difetto di massa ed energia di legame

Esercizio. Il nucleo di elio-4 ha massa $m=4{,}00260\ \text{u}$ ; protone $1{,}00728\ \text{u}$ , neutrone $1{,}00866\ \text{u}$ . Quale energia di legame totale?

Passo 1 — difetto di massa (2 protoni + 2 neutroni):

$\Delta m=2(1{,}00728)+2(1{,}00866)-4{,}00260=4{,}03188-4{,}00260=0{,}02928\ \text{u}.$

Passo 2 — energia di legame. $E_B=\Delta m\times931{,}5=0{,}02928\times931{,}5=27{,}3\ \text{MeV}$ .

2. Energia di legame per nucleone

Esercizio. Quale energia di legame per nucleone dell’elio-4 ( $E_B=27{,}3\ \text{MeV}$ , $A=4$ )?

$\dfrac{E_B}{A}=\dfrac{27{,}3}{4}=6{,}82\ \text{MeV/nucleone}.$

(Il massimo, $\sim8{,}8\ \text{MeV/nucleone}$ , è intorno al ferro-56: il nucleo più stabile.)

3. Costante di decadimento da T½

Esercizio. Il cobalto-60 ha $T_{1/2}=5{,}27\ \text{anni}$ . Quale costante di decadimento $\lambda$ ?

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{5{,}27\ \text{anni}}=0{,}1315\ \text{anni}^{-1}=4{,}17\times10^{-9}\ \text{s}^{-1}.$

4. Frazione residua dopo un tempo

Esercizio. Quale frazione di nuclei di cobalto-60 ( $T_{1/2}=5{,}27\ \text{anni}$ ) resta dopo $t=15\ \text{anni}$ ?

Numero di emivite: $t/T_{1/2}=15/5{,}27=2{,}85$ . Frazione residua:

$\dfrac{N}{N_0}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2{,}85}=2^{-2{,}85}=0{,}139.$

Resta circa il $14\%$ del campione iniziale.

5. Tempo per una data riduzione

Esercizio. Dopo quanto tempo un campione si riduce al $10\%$ ( $T_{1/2}=8{,}0\ \text{giorni}$ , iodio-131)?

Da $N/N_0=e^{-\lambda t}=0{,}10$ :

$t=\dfrac{\ln(N_0/N)}{\lambda}=\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\,T_{1/2}=\dfrac{2{,}303}{0{,}693}\times8{,}0=3{,}32\times8{,}0=26{,}6\ \text{giorni}.$

6. Attività di un campione

Esercizio. Un campione contiene $N=2{,}0\times10^{18}$ nuclei di cobalto-60 ( $\lambda=4{,}17\times10^{-9}\ \text{s}^{-1}$ ). Quale attività in Bq e in Ci?

$A=\lambda N=4{,}17\times10^{-9}\times2{,}0\times10^{18}=8{,}34\times10^9\ \text{Bq}.$

$A=\dfrac{8{,}34\times10^9}{3{,}7\times10^{10}}=0{,}225\ \text{Ci}.$

7. Attività residua nel tempo

Esercizio. L’attività iniziale di una sorgente è $A_0=5{,}0\ \text{mCi}$ ( $T_{1/2}=30\ \text{anni}$ , cesio-137). Quale attività dopo $90\ \text{anni}$ ?

L’attività decade come i nuclei ( $A=A_0\,2^{-t/T_{1/2}}$ ); $90/30=3$ emivite:

$A=A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=5{,}0\times\dfrac{1}{8}=0{,}625\ \text{mCi}.$

8. Datazione al radiocarbonio

Esercizio. Un reperto ha un’attività di carbonio-14 pari al $25\%$ di quella di un campione vivente ( $T_{1/2}=5730\ \text{anni}$ ). Quanti anni ha?

Il $25\%$ corrisponde a $2$ emivite ( $1/2\to1/4$ ):

$t=2\,T_{1/2}=2\times5730=11\,460\ \text{anni}.$

(In generale $t=\dfrac{T_{1/2}}{\ln2}\ln\dfrac{A_0}{A}$ , che per $A/A_0=0{,}25$ dà lo stesso risultato.)

9. Q-valore di una reazione (fissione)

Esercizio. In una fissione dell’uranio-235 si libera un difetto di massa $\Delta m=0{,}215\ \text{u}$ . Quale energia per fissione?

$Q=\Delta m\,c^2=0{,}215\times931{,}5=200\ \text{MeV}.$

Circa $200\ \text{MeV}$ per nucleo: è la scala energetica dei reattori a fissione (milioni di volte una reazione chimica).

10. Energia della fusione deuterio-trizio

Esercizio. Nella fusione $^2\text{H}+^3\text{H}\to{}^4\text{He}+n$ , le masse sono: $^2\text{H}=2{,}01410\ \text{u}$ , $^3\text{H}=3{,}01605\ \text{u}$ , $^4\text{He}=4{,}00260\ \text{u}$ , $n=1{,}00866\ \text{u}$ . Quale energia liberata?

Passo 1 — difetto di massa.

\Delta m=(2{,}01410+3{,}01605)-(4{,}00260+1{,}00866) =5{,}03015-5{,}01126 =0{,}01889\ \text{u}.

Passo 2 — energia. $Q=0{,}01889\times931{,}5=17{,}6\ \text{MeV}$ .

La fusione D-T libera $\sim17{,}6\ \text{MeV}$ : per nucleone è più efficiente della fissione (è la reazione delle stelle e dei reattori a fusione).

11. Numero di nuclei da una massa

Esercizio. Quanti nuclei ci sono in $1{,}0\ \text{g}$ di cobalto-60?

La massa molare approssimata è:

M=60\ \text{g/mol}.

Le moli sono:

n=\dfrac{m}{M}=\dfrac{1{,}0}{60}=1{,}67\times10^{-2}\ \text{mol}.

Il numero di nuclei è:

N=nN_A =1{,}67\times10^{-2}\cdot6{,}022\times10^{23} =1{,}00\times10^{22}.

Questo passaggio è essenziale per collegare massa macroscopica e attività radioattiva.

12. Attività specifica

Esercizio. Usando $\lambda=4{,}17\times10^{-9}\ \text{s}^{-1}$ per il cobalto-60 e il risultato del punto 11, calcolare l’attività di $1{,}0\ \text{g}$ .

L’attività è:

A=\lambda N.

Quindi:

A=4{,}17\times10^{-9}\cdot1{,}00\times10^{22} =4{,}17\times10^{13}\ \text{Bq}.

In curie:

A=\dfrac{4{,}17\times10^{13}}{3{,}7\times10^{10}} =1127\ \text{Ci}.

Una piccola massa di radioisotopo può avere attività enorme: massa e pericolosità radiologica non sono proporzionali in modo intuitivo, dipendono molto da $\lambda$ .

13. Q-valore negativo

Esercizio. Una reazione nucleare ha massa iniziale totale $10{,}0000\ \text{u}$ e massa finale totale $10{,}0020\ \text{u}$ . Calcolare il Q-valore e interpretarlo.

Il Q-valore è:

Q=(m_i-m_f)c^2.

Qui:

\Delta m=10{,}0000-10{,}0020=-0{,}0020\ \text{u}.