Equazioni di Maxwell: esercizi svolti passo passo

Le quattro equazioni di Maxwell riassumono tutto l’elettromagnetismo. In forma integrale:

Gauss elettrica: $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}$ (le cariche generano campo elettrico);
Gauss magnetica: $\displaystyle \oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$ (non esistono monopoli magnetici);
Faraday-Lenz: $\oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}$ (un flusso magnetico variabile genera campo elettrico);
Ampère-Maxwell: $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}\right)$ (correnti e flussi elettrici variabili generano campo magnetico).

Il termine $\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$ è la corrente di spostamento, l’aggiunta di Maxwell che rende coerente la teoria e prevede le onde elettromagnetiche.

1. Gauss elettrica: flusso da carica

Esercizio. Una carica $Q=2{,}0\ \mu\text{C}$ è racchiusa in una superficie chiusa. Quale flusso del campo elettrico?

$\Phi_E=\dfrac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0}=\dfrac{2{,}0\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}}=2{,}26\times10^5\ \text{N·m}^2/\text{C}.$

2. Gauss magnetica: flusso sempre nullo

Esercizio. Quale flusso magnetico totale esce da una superficie chiusa attorno a un magnete?

Per la seconda equazione di Maxwell (assenza di monopoli magnetici):

$\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0.$

Ogni linea di campo che esce dalla superficie rientra: il flusso netto è sempre nullo, anche racchiudendo un magnete. (Differenza fondamentale con il campo elettrico.)

3. Faraday: fem da flusso variabile

Esercizio. Un campo magnetico attraverso una spira di area $A=0{,}03\ \text{m}^2$ varia a $dB/dt=0{,}40\ \text{T/s}$ . Quale fem indotta?

$\varepsilon=\dfrac{d\Phi_B}{dt}=A\dfrac{dB}{dt}=0{,}03\times0{,}40=0{,}012\ \text{V}.$

4. Corrente di spostamento

La corrente di spostamento è $I_d=\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$ .

Esercizio. Tra le armature di un condensatore il flusso elettrico varia a $d\Phi_E/dt=5{,}0\times10^6\ \text{V·m/s}$ . Calcolare la corrente di spostamento.

$I_d=\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}=8{,}85\times10^{-12}\times5{,}0\times10^6=4{,}43\times10^{-5}\ \text{A}=44{,}3\ \mu\text{A}.$

5. Corrente di spostamento in un condensatore in carica

Esercizio. Un condensatore si carica con corrente $I=2{,}0\ \text{A}$ . Quale corrente di spostamento tra le armature?

La corrente di spostamento tra le armature eguaglia esattamente la corrente di conduzione nel filo:

$I_d=I=2{,}0\ \text{A}.$

Questo garantisce la continuità del campo magnetico attorno al filo e tra le armature: senza il termine di Maxwell, la legge di Ampère sarebbe contraddittoria nel condensatore.

6. Campo magnetico da corrente di spostamento

Esercizio. In un condensatore circolare (raggio $R=0{,}05\ \text{m}$ ) con corrente di spostamento $I_d=2{,}0\ \text{A}$ , calcolare il campo magnetico al bordo.

Applicando Ampère-Maxwell con un percorso circolare di raggio $R$ (tutta la $I_d$ concatenata):

$B\cdot2\pi R=\mu_0 I_d\ \Rightarrow\ B=\dfrac{\mu_0 I_d}{2\pi R}=\dfrac{2\times10^{-7}\times2{,}0}{0{,}05}=8{,}0\times10^{-6}\ \text{T}.$

Il flusso elettrico variabile genera un campo magnetico, come una corrente reale.

7. Significato fisico della corrente di spostamento

Esercizio. Perché Maxwell ha dovuto introdurre la corrente di spostamento?

Senza il termine $\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ , la legge di Ampère dà risultati contraddittori in un condensatore in carica: una superficie amperiana che taglia il filo concatena corrente $I$ , ma una che passa tra le armature (dove non c’è conduzione) concatenerebbe $0$ . La corrente di spostamento ripristina la coerenza e, fondamentalmente, prevede che campi elettrici variabili generino campi magnetici — il meccanismo che permette la propagazione delle onde elettromagnetiche.

8. Velocità della luce dalle costanti

Esercizio. Ricavare la velocità della luce dalle costanti fondamentali $\mu_0$ e $\varepsilon_0$ .

Maxwell dimostrò che le onde EM viaggiano a $c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$ :

\begin{aligned} c&=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi\times10^{-7}\times8{,}85\times10^{-12}}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1{,}113\times10^{-17}}}\\ &=\dfrac{1}{3{,}34\times10^{-9}}\\ &=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}. \end{aligned}

Il fatto che questo valore coincida con la velocità della luce dimostrò che la luce è un’onda elettromagnetica.

9. Flusso magnetico nullo: linee chiuse

Esercizio. Cosa implica $\displaystyle \oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$ sulla forma delle linee di campo magnetico?

Implica che le linee di campo magnetico sono sempre chiuse (non hanno inizio né fine): non esistono “sorgenti” o “pozzi” magnetici, cioè non esistono monopoli magnetici. A differenza delle linee elettriche (che partono da cariche + e arrivano a cariche −), quelle magnetiche formano sempre anelli chiusi.

10. Simmetria delle equazioni

Esercizio. Quale simmetria mostrano le equazioni di Faraday e Ampère-Maxwell?

Esprimono una simmetria profonda: un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (Faraday), e un campo elettrico variabile genera un campo magnetico (Ampère-Maxwell). Questa mutua generazione permette ai campi di “autosostenersi” propagandosi nello spazio come onde elettromagnetiche, senza bisogno di cariche o correnti nel vuoto.

11. Forma locale delle equazioni

Esercizio. Scrivere le equazioni di Maxwell in forma differenziale e collegarle alla forma integrale.

La forma locale è:

\nabla\cdot\vec E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\vec B=0,

\nabla\times\vec E=-\dfrac{\partial\vec B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\vec E}{\partial t}.

Le equazioni con la divergenza descrivono sorgenti locali dei campi: cariche per $\vec E$ , nessun monopolo per $\vec B$ . Le equazioni con il rotore descrivono circuitazione locale: campo magnetico variabile genera rotore di $\vec E$ , correnti e campo elettrico variabile generano rotore di $\vec B$ .

La forma integrale si ottiene usando il teorema della divergenza e il teorema di Stokes. La forma locale è più adatta a ricavare onde, condizioni al contorno e modelli differenziali.

12. Campo magnetico dentro un condensatore

Esercizio. Un condensatore piano circolare ha raggio $R=5{,}0\ \text{cm}$ ed è attraversato da corrente di spostamento totale $I_d=2{,}0\ \text{A}$ . Calcolare $B$ a distanza $r=2{,}0\ \text{cm}$ dall’asse, assumendo campo elettrico uniforme tra le armature.

Per $r<R$ , la corrente di spostamento concatenata dal percorso amperiano cresce con l’area:

I_{d,\text{int}}=I_d\dfrac{r^2}{R^2}.

Quindi:

I_{d,\text{int}}=2{,}0\left(\dfrac{0{,}020}{0{,}050}\right)^2 =2{,}0\cdot0{,}16 =0{,}32\ \text{A}.

Ampère-Maxwell dà:

B(2\pi r)=\mu_0 I_{d,\text{int}}.

Allora:

B=\dfrac{\mu_0 I_{d,\text{int}}}{2\pi r} =\dfrac{4\pi\times10^{-7}\cdot0{,}32}{2\pi\cdot0{,}020} =3{,}2\times10^{-6}\ \text{T}.

Dentro il condensatore $B$ cresce linearmente con $r$ ; fuori, invece, decresce come $1/r$ perché si concatena tutta la corrente di spostamento.

13. Continuità della carica

Esercizio. Perché il termine di Maxwell è necessario anche per la conservazione della carica?

La conservazione locale della carica si scrive:

\nabla\cdot\vec J+\dfrac{\partial\rho}{\partial t}=0.

Se nella legge di Ampère locale si avesse solo

\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J,

prendendo la divergenza di entrambi i membri si otterrebbe

\nabla\cdot(\nabla\times\vec B)=\mu_0\nabla\cdot\vec J.

Ma la divergenza di un rotore è sempre zero, quindi risulterebbe $\nabla\cdot\vec J=0$ , incompatibile con accumuli di carica variabili nel tempo, come in un condensatore in carica.

Il termine

\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\vec E}{\partial t}

rende l’equazione compatibile con $\partial\rho/\partial t\ne0$ , perché tramite Gauss elettrica collega $\nabla\cdot\vec E$ alla densità di carica.

Sintesi

Equazione	Forma integrale	Significato
Gauss elettrica	$\displaystyle \oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=Q/\varepsilon_0$	cariche → campo E
Gauss magnetica	$\displaystyle \oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$	no monopoli
Faraday	$\displaystyle \oint\vec{E}\cdot d\vec{l}=-d\Phi_B/dt$	B variabile → E
Ampère-Maxwell	$\displaystyle \oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0(I+\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt)$	I e E variabile → B

$c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=3{,}00\times10^8\ \text{m/s}$ . Forma locale: divergenza per le sorgenti, rotore per le circuitazioni; il termine di spostamento garantisce onde EM e conservazione della carica.

Errori da evitare:

dimenticare la corrente di spostamento nella legge di Ampère (necessaria per le onde EM);
cercare un flusso magnetico netto non nullo (è sempre zero, no monopoli);
confondere quale campo variabile genera l’altro (B variabile → E; E variabile → B).
applicare la corrente di spostamento totale anche a percorsi interni al condensatore: bisogna usare solo la quota concatenata.