L’entropia S è una funzione di stato che misura il disordine e l’irreversibilità. Per una trasformazione reversibile la variazione è
\Delta S=\int\dfrac{dQ_\text{rev}}{T}.
Il secondo principio in forma entropica: in un sistema isolato \Delta S\ge0 (uguaglianza solo per processi reversibili). L’entropia dell’universo (sistema + ambiente) non diminuisce mai: cresce nei processi irreversibili. Casi notevoli: scambio di calore a T costante (\Delta S=Q/T), espansione isoterma di un gas, mescolamento.
1. Variazione di entropia in uno scambio di calore isotermo
Esercizio. Un corpo assorbe Q=2000\ \text{J} a temperatura costante T=400\ \text{K}. Quale variazione di entropia?
\Delta S=\dfrac{Q}{T}=\dfrac{2000}{400}=5{,}0\ \text{J/K}.
2. Entropia di una sorgente che cede calore
Esercizio. Una sorgente a T=500\ \text{K} cede Q=3000\ \text{J}. Quale sua variazione di entropia?
La sorgente cede calore, quindi Q<0 per essa:
\Delta S=\dfrac{-3000}{500}=-6{,}0\ \text{J/K}.
L’entropia della sorgente diminuisce (cede calore), ma quella dell’ambiente che lo riceve aumenta di più.
3. Entropia dell’universo in uno scambio termico
Esercizio. 1000\ \text{J} passano da una sorgente calda a T_1=400\ \text{K} a una fredda a T_2=300\ \text{K}. Calcolare la variazione di entropia dell’universo.
Passo 1 — entropia della sorgente calda (cede): \Delta S_1=-1000/400=-2{,}50\ \text{J/K}.
Passo 2 — entropia della sorgente fredda (assorbe): \Delta S_2=+1000/300=+3{,}33\ \text{J/K}.
Passo 3 — entropia dell’universo.
\Delta S_\text{univ}=\Delta S_1+\Delta S_2=-2{,}50+3{,}33=+0{,}83\ \text{J/K}.
Positiva: lo scambio di calore tra temperature diverse è irreversibile, l’entropia dell’universo cresce.
4. Entropia di fusione
Esercizio. Quale variazione di entropia quando 0{,}10\ \text{kg} di ghiaccio fonde a 0\ °C? (L_f=3{,}34\times10^5\ \text{J/kg}).
Passo 1 — calore di fusione. Q=mL_f=0{,}10\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^4\ \text{J}.
Passo 2 — entropia (fusione a T=273\ \text{K} costante):
\Delta S=\dfrac{Q}{T}=\dfrac{3{,}34\times10^4}{273}=122\ \text{J/K}.
5. Entropia nel riscaldamento (temperatura variabile)
Quando T varia, \displaystyle \Delta S=\int\dfrac{mc\,dT}{T}=mc\ln\dfrac{T_2}{T_1}.
Esercizio. 2{,}0\ \text{kg} di acqua (c=4186\ \text{J/(kg·K)}) vengono scaldati da 300\ \text{K} a 350\ \text{K}. Variazione di entropia?
\Delta S=mc\ln\dfrac{T_2}{T_1}=2{,}0\times4186\times\ln\dfrac{350}{300}=8372\times\ln(1{,}167)=8372\times0{,}154=1289\ \text{J/K}.
6. Entropia di espansione isoterma di un gas
Per un gas perfetto che si espande isotermicamente, \Delta S=nR\ln\dfrac{V_2}{V_1}.
Esercizio. 1{,}0\ \text{mol} di gas si espande isotermicamente raddoppiando il volume. Variazione di entropia?
\Delta S=nR\ln\dfrac{V_2}{V_1}=1{,}0\times8{,}314\times\ln2=8{,}314\times0{,}693=5{,}76\ \text{J/K}.
L’entropia aumenta: il gas occupa più volume, più disordine.
7. Entropia nell’espansione libera
Esercizio. 2{,}0\ \text{mol} di gas si espandono liberamente nel vuoto, triplicando il volume. Variazione di entropia?
Passo 1 — l’espansione libera è irreversibile, ma S è funzione di stato: si calcola lungo un percorso reversibile equivalente (isoterma, perché \Delta T=0 nell’espansione libera di gas perfetto).
Passo 2 — formula.
\Delta S=nR\ln\dfrac{V_2}{V_1}=2{,}0\times8{,}314\times\ln3=16{,}63\times1{,}099=18{,}3\ \text{J/K}.
Positiva, anche se Q=0: l’irreversibilità genera entropia. L’entropia dell’universo aumenta di 18{,}3\ \text{J/K} (l’ambiente non cambia).
8. Entropia di mescolamento termico
Esercizio. Si mescolano 1{,}0\ \text{kg} di acqua a 350\ \text{K} con 1{,}0\ \text{kg} a 290\ \text{K}. L’equilibrio è a 320\ \text{K}. Variazione di entropia dell’universo.
Passo 1 — entropia dell’acqua calda (si raffredda 350\to320):
\Delta S_1=mc\ln\dfrac{320}{350}=1{,}0\times4186\times\ln(0{,}914)=4186\times(-0{,}0896)=-375\ \text{J/K}.
Passo 2 — entropia dell’acqua fredda (si scalda 290\to320):
\Delta S_2=mc\ln\dfrac{320}{290}=4186\times\ln(1{,}103)=4186\times0{,}0984=412\ \text{J/K}.
Passo 3 — entropia totale.
\Delta S_\text{univ}=\Delta S_1+\Delta S_2=-375+412=+37\ \text{J/K}.
Positiva: il mescolamento è irreversibile.
9. Disuguaglianza di Clausius (ciclo)
Esercizio. Verificare che un ciclo di Carnot ha \oint\dfrac{dQ}{T}=0, con Q_1=1000\ \text{J} a T_1=500\ \text{K} e Q_2=600\ \text{J} ceduti a T_2=300\ \text{K}.
\oint\dfrac{dQ}{T}=\dfrac{Q_1}{T_1}-\dfrac{Q_2}{T_2}=\dfrac{1000}{500}-\dfrac{600}{300}=2{,}0-2{,}0=0.
Per un ciclo reversibile l’integrale di Clausius è nullo (l’entropia, funzione di stato, torna al valore iniziale). Per cicli irreversibili sarebbe <0.
10. Entropia e degradazione dell’energia
Esercizio. Perché l’aumento di entropia rappresenta “energia degradata”?
Quando l’entropia dell’universo cresce (processo irreversibile), una parte dell’energia diventa non più utilizzabile per compiere lavoro. Esempio: i 1000\ \text{J} che passano da 400\ \text{K} a 300\ \text{K} (esercizio 3) generano \Delta S=0{,}83\ \text{J/K}; l’energia “persa” come capacità di lavoro è T_\text{ambiente}\Delta S=300\times0{,}83=249\ \text{J}. L’entropia quantifica l’irreversibilità e la perdita di lavoro utile.
Sintesi
| Processo | \Delta S |
|---|---|
| Scambio isotermo | Q/T |
| Riscaldamento | mc\ln(T_2/T_1) |
| Espansione isoterma/libera (gas) | nR\ln(V_2/V_1) |
| Transizione di fase | mL/T |
| Ciclo reversibile | \displaystyle \oint dQ/T=0 |
Secondo principio: \Delta S_\text{univ}\ge0 (= 0 solo se reversibile).
Errori da evitare:
- usare \Delta S=Q/T quando la temperatura varia (serve l’integrale mc\ln(T_2/T_1));
- concludere \Delta S=0 nell’espansione libera perché Q=0 (S è funzione di stato, si calcola su un percorso reversibile);
- dimenticare di sommare i contributi di sistema e ambiente per l’entropia dell’universo.