Dal teorema di Bernoulli discendono le principali applicazioni pratiche dei fluidi ideali. Il teorema di Torricelli dà la velocità di efflusso da un foro a profondità h sotto il pelo libero:
v=\sqrt{2gh}.
Il tubo di Pitot ricava la velocità dalla pressione di ristagno (\Delta p=\dfrac{1}{2}\rho v^2); la potenza idraulica di una pompa è P=\rho Q\,gH; la spinta di un getto su una superficie deriva dalla variazione di quantità di moto del fluido, F=\rho Q\,\Delta v.
1. Teorema di Torricelli — velocità di efflusso
Esercizio. Un serbatoio aperto ha un foro a h=3{,}0\ \text{m} sotto la superficie libera. Con quale velocità esce l’acqua?
Bernoulli tra superficie (ferma, p_\text{atm}) e foro (p_\text{atm}): le pressioni si elidono e resta \dfrac{1}{2}\rho v^2=\rho g h:
v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9{,}8\times3{,}0}=\sqrt{58{,}8}=7{,}67\ \text{m/s}.
Coincide con la velocità di un corpo in caduta libera da h.
2. Portata dal foro
Esercizio. Il foro precedente ha area A_f=2{,}0\ \text{cm}^2. Quale portata esce (v=7{,}67\ \text{m/s})?
Q=A_f v=2{,}0\times10^{-4}\times7{,}67=1{,}53\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}\approx1{,}5\ \text{L/s}.
In pratica la portata reale è minore per via della contrazione del getto (coefficiente di efflusso C_d\approx0{,}6–0{,}65).
3. Gittata del getto orizzontale
Esercizio. Il foro (v=7{,}67\ \text{m/s}, getto orizzontale) è a H=1{,}2\ \text{m} dal suolo. A quale distanza orizzontale cade l’acqua?
Passo 1 — tempo di caduta (H=\dfrac{1}{2} gt^2):
t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times1{,}2}{9{,}8}}=0{,}495\ \text{s}.
Passo 2 — gittata. x=v\,t=7{,}67\times0{,}495=3{,}80\ \text{m}.
4. Profondità del foro per gittata massima
Esercizio. Un serbatoio è pieno fino a H_0=2{,}0\ \text{m}. A quale profondità del foro la gittata orizzontale (sul fondo) è massima?
La gittata di un foro a profondità h (con liquido alto H_0, altezza di caduta H_0-h) è x=2\sqrt{h(H_0-h)}, massima quando h=H_0/2:
h=\dfrac{H_0}{2}=1{,}0\ \text{m},\qquad x_\text{max}=2\sqrt{1{,}0\times1{,}0}=2{,}0\ \text{m}=H_0.
La gittata massima si ha forando a metà altezza e vale quanto il livello del liquido.
5. Svuotamento di un serbatoio — portata iniziale
Esercizio. Un serbatoio cilindrico (A_s=0{,}80\ \text{m}^2) pieno fino a h=2{,}0\ \text{m} ha un foro sul fondo di A_f=4{,}0\ \text{cm}^2. Quale portata esce all’inizio?
Velocità di efflusso (Torricelli) e portata:
Circa 2{,}5\ \text{L/s}. Man mano che h cala, v e Q diminuiscono.
6. Tempo di svuotamento totale
Esercizio. Quanto tempo impiega il serbatoio precedente (A_s=0{,}80\ \text{m}^2, A_f=4{,}0\ \text{cm}^2, h_0=2{,}0\ \text{m}) a svuotarsi?
Integrando A_s\,dh/dt=-A_f\sqrt{2gh} si ottiene la formula del tempo di svuotamento:
7. Sifone — velocità di efflusso
Esercizio. Un sifone svuota un serbatoio: il pelo libero è a quota 0, l’uscita è a z_\text{out}=-2{,}0\ \text{m} sotto il pelo. Quale velocità di efflusso?
Bernoulli tra pelo libero (fermo, p_\text{atm}) e uscita (p_\text{atm}): dipende solo dal dislivello pelo-uscita H=2{,}0\ \text{m}, come Torricelli:
v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\times9{,}8\times2{,}0}=6{,}26\ \text{m/s}.
L’altezza del colmo del sifone non influenza la velocità.
8. Sifone — pressione nel punto più alto
Esercizio. Lo stesso sifone ha il colmo a z_\text{max}=1{,}5\ \text{m} sopra il pelo libero (sezione costante, v=6{,}26\ \text{m/s}). Quale pressione nel punto alto (p_\text{atm}=1{,}013\times10^5\ \text{Pa})?
Bernoulli tra pelo libero e colmo (stessa v per continuità):
p_\text{max}=p_\text{atm}-\rho g z_\text{max}-\dfrac{1}{2}\rho v^2=1{,}013\times10^5-1000\times9{,}8\times1{,}5-500\times6{,}26^2.
p_\text{max}=1{,}013\times10^5-14\,700-19\,594=6{,}70\times10^4\ \text{Pa}.
Sotto l’atmosferica: se scendesse sotto la tensione di vapore, il sifone si interromperebbe (cavitazione). Il colmo non può superare \sim10\ \text{m} sopra il pelo.
9. Tubo di Pitot — velocità di un aereo
Esercizio. Un tubo di Pitot misura una pressione dinamica \Delta p=2{,}5\times10^3\ \text{Pa} in aria (\rho=1{,}2\ \text{kg/m}^3). Quale velocità?
La pressione dinamica al punto di ristagno è \Delta p=\dfrac{1}{2}\rho v^2:
v=\sqrt{\dfrac{2\,\Delta p}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{2\times2{,}5\times10^3}{1{,}2}}=\sqrt{4167}=64{,}5\ \text{m/s}\approx232\ \text{km/h}.
10. Potenza di una pompa
Esercizio. Una pompa solleva Q=10\ \text{L/s} d’acqua a H=20\ \text{m}. Quale potenza idraulica minima (rendimento ideale)?
La potenza è il lavoro per unità di tempo, P=\rho Q\,gH:
P=1000\times10\times10^{-3}\times9{,}8\times20=1960\ \text{W}\approx2{,}0\ \text{kW}.
Con rendimento \eta<1 la potenza all’asse sarebbe P/\eta.
11. Spinta di un getto su una parete
Esercizio. Un getto d’acqua (Q=5{,}0\ \text{L/s}, v=12\ \text{m/s}) colpisce perpendicolarmente una parete fissa e si sparge lateralmente. Quale forza esercita?
La quantità di moto orizzontale viene azzerata, F=\rho Q\,(v-0)=\rho Q v:
F=1000\times5{,}0\times10^{-3}\times12=60\ \text{N}.
Per una paletta che inverte il getto (deflessione 180°) la variazione è 2v, quindi F=2\rho Qv=120\ \text{N}.
12. Spinta su un gomito di tubazione
Esercizio. In un gomito a 90° scorre acqua con Q=8{,}0\ \text{L/s} a v=4{,}0\ \text{m/s} (sezione costante, pressione trascurabile). Quale forza risultante sul gomito?
Il gomito deflette la quantità di moto da x a y; le due componenti hanno modulo \rho Q v:
F_x=\rho Q v=1000\times8{,}0\times10^{-3}\times4{,}0=32\ \text{N}=F_y.
F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=32\sqrt2=45{,}3\ \text{N}.
(Trascurando le forze di pressione pA alle sezioni, che in un caso reale vanno aggiunte.)
Sintesi
| Concetto | Formula |
|---|---|
| Torricelli / sifone | v=\sqrt{2gh} |
| Gittata orizzontale | x=v\sqrt{2H/g} |
| Tempo di svuotamento | t=(A_s/A_f)\sqrt{2h_0/g} |
| Tubo di Pitot | v=\sqrt{2\Delta p/\rho} |
| Potenza idraulica | P=\rho Q\,gH |
| Spinta del getto | F=\rho Q\,\Delta v |
Errori da evitare:
- nel sifone, credere che la velocità dipenda dall’altezza del colmo (dipende solo dal dislivello pelo-uscita); il colmo limita invece la pressione minima;
- dimenticare la contrazione del getto (coefficiente di efflusso) quando serve la portata reale;
- nella spinta del getto, usare \Delta v=v anche quando il getto viene invertito (allora \Delta v=2v);
- confondere la profondità del foro h (per la velocità) con l’altezza di caduta H (per la gittata);
- trascurare il rendimento della pompa quando si chiede la potenza all’asse anziché quella idraulica.